根据这个定理，可以得到有关齐次线性方程组的重要结论 推论 齐次线性方程组 [a1x+az52+.+amn=0, a21+a223+.+a2nxn=0, an+an22+.+anxn=0. 有非零解的充分必要条件是它的系数矩阵 aa.am） 4=.a am an2.am 的行列式等于零 证明条件的充分性可以由定理5及引理直接得出 条件的必要性是克兰姆法则的直接推论 为了建立一般矩阵的秩与行列式的关系，我们引入 定义16在一个5×n矩阵A中任意选定k行和k列，位于这些选定的行和列的交点上的k2个元 素按原来的次序所组成的k级行列式，称为A的一个k级子式 在定义中，当然有k≤min(s,),这里min(s,n)表示s,n中较小的一个 例在矩阵 1131Y 4=02-14 0005 0000 中，选第1,3行和第3,4列，它们交点上的元素所成的2级行列式 就是一个2级子式又如选第1,2,3，行和第1,2,4列，相应的3级子式就是 111 024=10 005 由于行和列的选法很多，所以k级子式也是很多的矩阵的秩与行列式的关系表现为 定理6 矩阵的秩是r的充分必要条件为矩阵中有 个r级子式不零，同时所有r+1级子式全 为 证明先证必要性设矩阵A的秩为r这时，矩阵A中任意r+1个行向量都线性相关，矩阵A的 任意r+1级子式的行向量也线性相关由定理5，这种子式全为零现在来证矩阵A中至少有一个r级子 式不为零因为根据这个定理,可以得到有关齐次线性方程组的重要结论. 推论 齐次线性方程组 11 1 12 2 1 21 1 22 2 2 1 1 2 2 0, 0, 0. n n n n n n nn n a x a x a x a x a x a x a x a x a x  + + + =   + + + =     + + + = 有非零解的充分必要条件是它的系数矩阵 11 12 1 21 22 2 1 2 n n n n nn a a a a a a A a a a       =       的行列式等于零. 证明 条件的充分性可以由定理 5 及引理直接得出. 条件的必要性是克兰姆法则的直接推论. 为了建立一般矩阵的秩与行列式的关系,我们引入 定义 16 在一个 s n 矩阵 A 中任意选定 k 行和 k 列,位于这些选定的行和列的交点上的 2 k 个元 素按原来的次序所组成的 k 级行列式,称为 A 的一个 k 级子式. 在定义中,当然有 k s n  min( , ) ,这里 min( , ) s n 表示 s n, 中较小的一个. 例 在矩阵 1 1 3 1 0 2 1 4 0 0 0 5 0 0 0 0 A     −   =       中,选第 1,3 行和第 3,4 列,它们交点上的元素所成的 2 级行列式 3 1 15 0 5 = 就是一个 2 级子式.又如选第 1,2,3,行和第 1,2,4 列,相应的 3 级子式就是 111 0 2 4 10 0 0 5 = 由于行和列的选法很多,所以 k 级子式也是很多的.矩阵的秩与行列式的关系表现为 定理 6 一矩阵的秩是 r 的充分必要条件为矩阵中有一个 r 级子式不零,同时所有 r +1 级子式全 为零. 证明 先证必要性.设矩阵 A 的秩为 r .这时,矩阵 A 中任意 r +1 个行向量都线性相关,矩阵 A 的 任意 r +1 级子式的行向量也线性相关.由定理 5,这种子式全为零.现在来证矩阵 A 中至少有一个 r 级子 式不为零.因为