一行是其余各行的线性组合，从这一行依次诚去其余各行的相应的倍数，这一行就全变成零，由行列式 的性质可知A=0 再证必要性我们对n作数学归钠法. 当n=1时，A的仅有的一个元素就是零，因而A的秩为零. 假设结论对n-1级矩阵已证，现在来看n级矩阵的情形.我们以a,a2,a,代表A的行向量检查 A的第一列的元素,a1,.,如果它们全为零，那么A的列向量组中含有零向量，当然秩小于n 如果这n个元素中有一个不为零，譬如说4，≠0，那么从第二行直到第n行减去第一行的适当的倍数 把1，a消成零，即得 aia2.an】 0da2.dmJ 其中(0，d2,.,d)=a,-a,i=2,.,n.由4=0可知n-1级矩吗 da.dn d2.a 的行列式为零根据归纳法假定，这个矩阵的行向量线性相关因而向量组 41 线性相关，这就是说有不全为零的数k2,.,k使 4a-21a)++k(a,-g4a)=0 改写一下，有 合人++2a+a,++a=0 a (1k+.+k,)k,.,kn这组数当然也不全为零，从而向量组4，a,.,a线性相关，它的秩 a1 小于n. 根据归纳法原理，必要性得证 一行是其余各行的线性组合,从这一行依次减去其余各行的相应的倍数,这一行就全变成零,由行列式 的性质可知 A = 0. 再证必要性.我们对 n 作数学归纳法. 当 n =1 时, A 的仅有的一个元素就是零,因而 A 的秩为零. 假设结论对 n−1 级矩阵已证,现在来看 n 级矩阵的情形.我们以 1 2 , , ,   n 代表 A 的行向量.检查 A 的第一列的元素 11 21 1 , , ,   n ,如果它们全为零,那么 A 的列向量组中含有零向量,当然秩小于 n . 如果这 n 个元素中有一个不为零,譬如说 11 a  0 ,那么从第二行直到第 n 行减去第一行的适当的倍数, 把 21 1 , ,  n 消成零,即得 11 12 1 22 2 2 0 0 n n n nn a a a a a A a a       =         22 2 11 2 , n n nn a a a a a     =       其中 1 2 1 11 (0, , , ) , 2, , . i i in i a a a a a i n a   = − = 由 A = 0 可知 n−1 级矩阵 22 2 2 n n nn a a a a               的行列式为零.根据归纳法假定,这个矩阵的行向量线性相关因而向量组 21 2 1 11 , a a a a − 1 1 11 n n a a a a − 线性相关,这就是说,有不全为零的数 2 , , n k k 使 21 2 2 1 11 ( ) n a k a a k a − + + 1 1 11 ( ) 0 n n a a a a − = 改写一下,有 21 2 11 ( a k a − 1 1 2 2 11 ) 0. n n n n a k a k a k a a + + + + + = 21 2 11 ( a k a − 1 11 ), n n a k a + + 2 , , n k k 这组数当然也不全为零,从而向量组 1 2 , , ,   n 线性相关,它的秩 小于 n. 根据归纳法原理,必要性得证