aa.an A aia2.am 而A的行秩=r.为了证明r=，我们先来证r≤ 以，2，.，a,代表矩阵A的行向量组，无妨设a,.,a,是它的一个极大线性无关组.因为 4,.,是线性无关的，所以方程x4+.+x,4,=0只有零解，这也就是说齐次线性方程组 a+a22+.+ax,=0, a+az+.+a,2x,=0, anx+a2mx3+.+anmx=0. 只有零解由引理，这个方程组的系数矩阵 a2aa.a2 (ana2n.anm 的行秩≥r.因之在它的行向量中可以找到r个是线性无关的，譬如说，向量组 (a1,a.,ai,(a2,a2,.,a2h.,(an,a,.,an） 线性无关根据上一节的说明，在这些向量上添上几个分量后所得的向量组 (a1,a1,a1,）,(a2,a22,.,a2,az).,(a,a2,an,.,an） 也线性无关它们正是矩阵A的r个列向量，由此可知矩阵A的列秩至少是r,也就是说之 用同样的方法可证♪≥片这样，我们就证明了行秩与列秩的相等因为行秩等于列秩，所以下面就统 称为矩阵的秩 定理5n×n矩阵 aaa.an A= aa2.anm 的行列式为零的充分必要条件是A的秩小于n 证明先证充分性因为A的秩小于n,所以A的n个行向量组线性相关当n=I时，A只有一个数， 即只有一个一维向量，它又是线性相关的向量组，就是零向量，从而=0=0.当n>1时，矩阵A中有11 12 1 21 22 2 1 2 n n s s sn a a a a a a A a a a       =       而 A 的行秩 = r .为了证明 1 r r = ,我们先来证 1 r r  . 以 1 2 , , ,   s 代表矩阵 A 的行向量组,无妨设 1 , ,  r 是它的一个极大线性无关组.因为 1 , ,  r 是线性无关的,所以方程 1 1 0 r r x a x a + + = 只有零解,这也就是说,齐次线性方程组 11 1 21 2 1 12 1 22 2 2 1 1 2 2 0, 0, 0. r r r r n n rn r a x a x a x a x a x a x a x a x a x  + + + =   + + + =     + + + = 只有零解.由引理,这个方程组的系数矩阵 11 21 1 12 22 2 1 2 r r n n rn a a a a a a a a a             的行秩  r.因之在它的行向量中可以找到 r 个是线性无关的,譬如说,向量组 11 21 1 ( , , , )   r , 12 22 2 ( , , , ), ,   r 1 2 ( , , , )    r r rr 线性无关.根据上一节的说明,在这些向量上添上几个分量后所得的向量组 11 21 1 1 ( , , , , , )     r s , 12 22 2 2 ( , , , , , )     r s 1 2 ,( , , , , , )     r r rr sr 也线性无关.它们正是矩阵 A 的 r 个列向量,由此可知矩阵 A 的列秩 1 r 至少是 r ,也就是说 1 r r  . 用同样的方法可证 1 r r  .这样,我们就证明了行秩与列秩的相等.因为行秩等于列秩,所以下面就统 称为矩阵的秩. 定理 5 n n 矩阵 11 12 1 21 22 2 1 2 n n n n nn a a a a a a A a a a       =       的行列式为零的充分必要条件是 A 的秩小于 n . 证明 先证充分性.因为 A 的秩小于 n ,所以 A 的 n 个行向量组线性相关.当 n =1 时, A 只有一个数, 即只有一个一维向量,它又是线性相关的向量组,就是零向量,从而 A = = 0 0 .当 n 1 时,矩阵 A 中有