是向量组a,凸2，凸，a,的一个极大线性无关组事实上，由k+k凸2+k4=0,即 k1,1,3,1)+k0,2,-1,4)+k(0,0,0,5)=(k,k+2k,3k-k,k+4k+5k)=(0,0,0,0) 可得k=飞=k=0这就证明了a,42,4,线性无关因为a,是零向量，所以把a,添进去就线性相关 了，因此，向量组凸，凸，,的秩为3，也就是说，矩阵A的行秩为3.A的列向量组是 B=10.0,0).B=(1.2.0.0).B=(3.-10,0),B=(14.5.0) 用同样的方法可证，向量组B,B,B,B的秩为3.换句话说矩阵A的列秩也是3. 矩阵A的行秩等于列秩，这一点不是偶然的，下面来一般地证明行秩与列秩是相等的 引理如果齐次线性方程组 a+a2+.+anxn=0, 42+a252+.+a2nxn=0, ax+a22+.+amxn=0 的系数矩阵 a1a2.an 04 a1a2.an 的行秩r<n,那么它有非零解. 证明以a,a,a,代表矩阵A的行向量组，因为它的秩为r,所以极大线性无关组是由r个向 量组成无妨设,.,a,是一个极大线性无关组我们知道，向量组,.,.,与,.,a,是等价 的，也就是说，方程组(1)与方程组 a+az+.+amxn=0, a2x+azx2+.+a2mxn=0, 2) a,+a,23+.+anxn=0. 可以互相线性表出，因而方程组(1)与(2)同解对于方程组(2)应用§1定理1，即得所要的结论. 定理4矩阵的行秩与列秩相等。 证明设所讨论的矩阵为 是向量组 1 2 3 4     , , , 的一个极大线性无关组.事实上,由 1 1 2 2 3 3 k k k    + + = 0, 即 1 2 3 k k k (1,1,3,1) (0,2, 1,4) (0,0,0,5) + − + 1 1 2 1 2 1 2 3 = + − + + = ( , 2 ,3 , 4 5 ) (0,0,0,0) k k k k k k k k 可得 1 2 3 k k k = = = 0 这就证明了 1 2 3    , , 线性无关.因为 4 是零向量,所以把 4 添进去就线性相关 了,因此,向量组 1 2 3 4     , , , 的秩为 3,也就是说,矩阵 A 的行秩为 3 . A 的列向量组是 1  = (1,0,0,0), 2  = (1,2,0,0), 3  = − (3, 1,0,0), 4  = (1,4,5,0) 用同样的方法可证,向量组 1  ,  2 ,  3 ,  4 的秩为 3.换句话说,矩阵 A 的列秩也是 3. 矩阵 A 的行秩等于列秩,这一点不是偶然的,下面来一般地证明行秩与列秩是相等的. 引理 如果齐次线性方程组 11 1 12 2 1 21 1 22 2 2 1 1 2 2 0, 0, 0. n n n n s s sn n a x a x a x a x a x a x a x a x a x  + + + =   + + + =     + + + = 的系数矩阵 11 12 1 21 22 2 1 2 n n s s sn a a a a a a A a a a       =       (1) 的行秩 r n  ,那么它有非零解. 证明 以 1 2 , , ,   s 代表矩阵 A 的行向量组,因为它的秩为 r ,所以极大线性无关组是由 r 个向 量组成.无妨设 1 , ,  r 是一个极大线性无关组.我们知道,向量组 1 , , ,    r s 与 1 , ,  r 是等价 的,也就是说,方程组(1)与方程组 11 1 12 2 1 21 1 22 2 2 1 1 2 2 0, 0, 0. n n n n r r rn n a x a x a x a x a x a x a x a x a x  + + + =   + + + =     + + + = (2) 可以互相线性表出,因而方程组(1)与(2)同解.对于方程组(2)应用§1 定理 1,即得所要的结论. 定理 4 矩阵的行秩与列秩相等. 证明 设所讨论的矩阵为