故a,(s<j≤r)可以被a,凸，.，a,线性表出.于是证明了向量组与它的极大线性无关组的等价性 由上面的例子可以看到，向量组的极大线性无关组不是唯一的但是每一个极大线性无关组都与向 量组本身等价，因而，一向量组的任意两个极大线性无关组都是等价的虽然极大线性无组可以有很多， 但是由定理2的推论3，立即得出 定理3向量组的极大线性无关组所含向量的个数相同 定义14向量组的极大线性无关组所含向量的个数称为这个向量组的秩 例如，向量组4=(2，-1,3,1)，a,=(4,-2,5,4),4=(2,-1,4,-)的秩就是2 因为线性无关的向量组就是它自身的极大线性无关组，所以一向量组线性无关的充分必要条件为 它的秩与它所含向量的个数相同。 我们知道，每一向量组都与它的极大线性无关组等价由等价的传递性可知，任意两个等价向量组 的极大线性无关组也等价所以，等价的向量组必有相同的秩 作业：P153,习题3,6. 预习：下一节的基本概念 §4矩阵的秩 教学目标掌握矩阵的行秩、列秩、秩的概念与关系方阵的秩与其行列式的关系矩阵的秩为r的 充分必要条件求矩阵的秩的初等行变换法 教学重点：矩阵的行秩、列秩、秩的概念与关系求矩阵的秩的初等行变换法 教学方法：讲授法 教学过程 在上节我们定义了向量组的秩如果我们把矩阵的每一行看成 一个向量 那么矩阵就可以认为是由 这些行向量组成的同样，如果把每一列看成一个向量，那么矩阵也可以认为是由列向量组成的， 定义15所谓矩阵的行秩就是指矩阵的行向量组的秩矩阵的列秩就是矩阵的列向量组的秩 例如矩阵 1131Y 02-154 0005 0000 的行向量组是4=(1,13,1)，43=(0,2，-14)，a%3=(0,0,0,5),4=(0,0,0,0).可以证明，4，a4,C故 ( ) j  s j r   可以被 1 2 , , ,   s 线性表出.于是证明了向量组与它的极大线性无关组的等价性. 由上面的例子可以看到,向量组的极大线性无关组不是唯一的.但是每一个极大线性无关组都与向 量组本身等价,因而,一向量组的任意两个极大线性无关组都是等价的.虽然极大线性无组可以有很多, 但是由定理 2 的推论 3,立即得出 定理 3 向量组的极大线性无关组所含向量的个数相同. 定义 14 向量组的极大线性无关组所含向量的个数称为这个向量组的秩. 例如,向量组 1 2 3    = − = − = − − (2, 1,3,1), (4, 2,5,4), (2, 1,4, 1) 的秩就是 2. 因为线性无关的向量组就是它自身的极大线性无关组,所以一向量组线性无关的充分必要条件为 它的秩与它所含向量的个数相同. 我们知道,每一向量组都与它的极大线性无关组等价.由等价的传递性可知,任意两个等价向量组 的极大线性无关组也等价.所以,等价的向量组必有相同的秩. 作业: P153,习题 3,6. 预习: 下一节的基本概念. §4 矩阵的秩 教学目标: 掌握矩阵的行秩、列秩、秩的概念与关系;方阵的秩与其行列式的关系;矩阵的秩为 r 的 充分必要条件;求矩阵的秩的初等行变换法. 教学重点: 矩阵的行秩、列秩、秩的概念与关系; 求矩阵的秩的初等行变换法. 教学方法: 讲授法. 教学过程: 在上节我们定义了向量组的秩.如果我们把矩阵的每一行看成一个向量,那么矩阵就可以认为是由 这些行向量组成的.同样,如果把每一列看成一个向量,那么矩阵也可以认为是由列向量组成的. 定义 15 所谓矩阵的行秩就是指矩阵的行向量组的秩;矩阵的列秩就是矩阵的列向量组的秩. 例如,矩阵 1 1 3 1 0 2 15 4 0 0 0 5 0 0 0 0 A     −   =       的行向量组是 1  = (1,1,3,1), 2  = − (0,2, 1,4) , 3  = (0,0,0,5) , 4  = (0,0,0,0) .可以证明, 1 2 3    ,