为此，我们作线性组合 g++中a-22月=22明=220 如果我们能找到不全为零的数x,x2,.,x,使G,6,.6,的系数全为零，那就证明了 4,凸，的线性相关性这一点是能够做到的，因为由2)，即r>5,齐次方程组 +12x2+.+1x,=0, J2+12z2++a2x,=0, x+122+.+1x,=0 中未知量的个数大于方程的个数，根据§1定理1，它有非零解 推论1如果a,.,a,可由B,B2,.B.线性表出，且a,.,a,线性无关那么r≤5. 椎论2任意月+1个n维向量必线性相关 推论3两个线性 关的 的 量组，必含 相同 数的 定义13 向量组的一个部分组称为一个极大线性无关组，如果这个部分组本身是线性无关的，并 且从这向量组中任意添一个向量（如果还有的话），所得的部分向量组都线性相关 应该看到，一个线性无关向量组的极大线性无关组就是这个向量组自身. 极大线性无关组的一个基本性质是，任意一个极大线性无关组都与向量组本身等价 事实上，设向量组为a,，.，.，而,4，.，&，是它的一个极大线性无关组所谓等价就 是它们可以互相线性表出.因为a%,a4,.,C,与4,4，.，a的一部分，当然可以被这个向量线性表出， a=0+.+la,+0a+.+0a,i=l,2,s 因此，问题在于4，凸，g,.,a是否可以被4,4，.，a,线性表出向量4,4，.，a,中每一个都 可以被4,2，α，线性表出是显然的现在来看a1,.,a,中的向量，设4，是这样一个向量由极大 线性无关组a,.,的极大性，向量组a,.,线性相关，也就是说有不全为零的数k,k, k+.+k.C。+1C,=0 因为4，凸，.，a,是线性无关的，可证必有1≠0.香则，设1=0，那么k,k,.,k就不全为零，于是 4,42,.,a,线性相关，这与假设矛盾由1≠0，上式可以改写为 为此,我们作线性组合 1 1 2 2 1 1 r s r r i ji j i j x x x x t     = = + + + =  1 1 r s ji i j i j t x  = = = 1 1 ( ) s r ji i j j i t x  = = =  . 如果我们能找到不全为零的数 1 2 , , , r x x x 使 1 2 , , s    的系数全为零,那就证明了 1 2 , , ,   r 的线性相关性.这一点是能够做到的,因为由 2),即 r s  ,齐次方程组 11 1 12 2 1 21 1 22 2 2 1 1 2 2 0, 0, 0. r r r r s s sr r t x t x t x t x t x a x t x t x t x  + + + =   + + + =     + + + = 中未知量的个数大于方程的个数,根据§1 定理 1,它有非零解. 推论 1 如果 1 2 , , ,   r 可由 1 2 , ,   s 线性表出,且 1 2 , , ,   r 线性无关,那么 r s  . 推论 2 任意 n+1 个 n 维向量必线性相关. 推论 3 两个线性无关的等价的向量组,必含有相同个数的向量.` 定义 13 一向量组的一个部分组称为一个极大线性无关组,如果这个部分组本身是线性无关的,并 且从这向量组中任意添一个向量(如果还有的话),所得的部分向量组都线性相关. 应该看到,一个线性无关向量组的极大线性无关组就是这个向量组自身. 极大线性无关组的一个基本性质是,任意一个极大线性无关组都与向量组本身等价. 事实上,设向量组为 1 2 , , , , ,     s r 而 1 2 , , ,   s 是它的一个极大线性无关组.所谓等价就 是它们可以互相线性表出.因为 1 2 , , ,   s 与 1 2 , , ,   r 的一部分,当然可以被这个向量线性表出, 即 1 1 0 1 0 0 , 1,2, , . i i i r      i s = + + + + + = + 因此,问题在于 1 2 , , , , ,     s r 是否可以被 1 2 , , ,   s 线性表出.向量 1 2 , , ,   s 中每一个都 可以被 1 2 , , ,   s 线性表出是显然的.现在来看 1 , ,   s r + 中的向量,设  j 是这样一个向量.由极大 线性无关组 1 , ,  s 的极大性,向量组 1 , , ,   s j 线性相关,也就是说,有不全为零的数 1 , , , s k k l 使 1 1 0 s s j k k l    + + + = 因为 1 2 , , ,   s 是线性无关的,可证必有 l  0 .否则,设 l = 0 ,那么 1 2 , , , s k k k 就不全为零,于是 1 2 , , ,   s 线性相关,这与假设矛盾.由 l  0,上式可以改写为 1 2 1 2 ( ) s j s k k k s j r l l l     = − − − −  