a1a2.am A a1a2. a1a2.am 的秩为r,所以在A中有r个行向量线性无关，譬如说，就是前r个行向量把这r行取出来作一新的矩 A=. a1a2.anm 显然，矩阵A的行秩为r,因而它的列秩也是r,这就是说在A中有r列线性无关不妨假设前r列线性 无关，因之行列式 la.a .≠0. ai.an 它就是矩阵A中一个r级子式这就证明了必要性 再证充分性.设在矩阵A中有-”级子式不为零，而所有”+1级子式全为零，我们证明A的秩为” 首先我们指出，由行列式按一行展开的公式可知，如果A的那么A的r+1级子式全为零，那么A的 ”+2级子式也一定为零从而A的所有级数大于严的子式全为零 设A的秩为1.由必要性，1不能小于r,否则A的r级子式就全为零了.同样，1也不能大于r,否则 4就要有一个(2r+1)级子式不为零，而按照假定这是不可能的.因之1=r,这就是我们要证的结论 从定理的证明可以看出，这个定理实际上包含两部分，一部分是，矩阵A的秩≥r的充分必要条件为 A有一个r级子式不为零，另一部分是，矩阵A的秩≤r的充分必要条件为A的所有r+1级子式全为 零.有时候，这两个结论可以分开来用从定理的证明还可以看出，在秩为r的矩阵中，不为零的 级子式 所在的行正是它行向量的 线 无关组，所在的列正是它列向量组的 线性无关到 最后我们来看一下，怎样计算一个矩阵的秩在前面，作为解线性方程组的一个方法，我们对矩阵作 行的初等变换，把矩阵化成阶梯形实际上，这也是计算矩阵的秩的一个方法 首先.矩阵的初等行变换是把行向量组变成一个与之等价的向量组我们知道.等价的向量组有相 同的秩，因此，初等行变换不改变矩阵的秩同样地，初等列变换也不改变矩阵的秩。 其次，阶梯形矩时 铁就等于其中非零的行的数目为 了证明这个结论，只要证明在阶梯形矩阵中 那些非零 的行线性无关就行了，设A是一阶梯形矩阵，不为零的行数是”因为初等列变换不改变矩阵 的秩，所以适当变换列的顺序，不妨设 11 12 1 21 22 2 1 2 n n s s sn a a a a a a A a a a       =       的秩为 r ,所以在 A 中有 r 个行向量线性无关,譬如说,就是前 r 个行向量.把这 r 行取出来.作一新的矩 阵 11 12 1 1 1 2 n r r rn a a a A a a a     =       显然,矩阵 A1 的行秩为 r ,因而它的列秩也是 r ,这就是说,在 A1 中有 r 列线性无关.不妨假设前 r 列线性 无关,因之,行列式 11 1 1 0. r r rr a a a a  它就是矩阵 A 中一个 r 级子式.这就证明了必要性. 再证充分性.设在矩阵 A 中有 −r 级子式不为零,而所有 r +1 级子式全为零,我们证明 A 的秩为 r . 首先我们指出,由行列式按一行展开的公式可知,如果 A 的那么 A 的 r +1 级子式全为零,那么 A 的 r + 2 级子式也一定为零,从而 A 的所有级数大于 r 的子式全为零. 设 A 的秩为 t .由必要性, t 不能小于 r ,否则 A 的 r 级子式就全为零了. 同样,t 也不能大于 r ,否则 A 就要有一个 t r ( 1)  + 级子式不为零.,而按照假定这是不可能的.因之 t r = ,这就是我们要证的结论. 从定理的证明可以看出,这个定理实际上包含两部分,一部分是,矩阵 A 的秩  r 的充分必要条件为 A 有一个 r 级子式不为零;另一部分是,矩阵 A 的秩  r 的充分必要条件为 A 的所有 r +1 级子式全为 零.有时候,这两个结论可以分开来用.从定理的证明还可以看出,在秩为 r 的矩阵中,不为零的 r 级子式 所在的行正是它行向量的一个极大线性无关组,所在的列正是它列向量组的一个极大线性无关组. 最后我们来看一下,怎样计算一个矩阵的秩.在前面,作为解线性方程组的一个方法,我们对矩阵作 行的初等变换,把矩阵化成阶梯形.实际上,这也是计算矩阵的秩的一个方法. 首先,矩阵的初等行变换是把行向量组变成一个与之等价的向量组.我们知道.等价的向量组有相 同的秩,因此,初等行变换不改变矩阵的秩.同样地,初等列变换也不改变矩阵的秩. 其次,阶梯形矩阵的秩就等于其中非零的行的数目.为了证明这个结论,只要证明在阶梯形矩阵中 那些非零的行线性无关就行了,设 A 是一阶梯形矩阵,不为零的行数是 r .因为初等列变换不改变矩阵 的秩,所以适当变换列的顺序,不妨设