·370 北京科技大学学报 第33卷 上面的矩阵Ψ1和平2可以进一步简化，注意到A、Bo、E、E,和M的结构，特别是 EE1M1+…十EEN-1Mw-1…M1= 0 E1E12十E2E1g十Eg十Ea…E1N-1十E2N-1十…十E-1N- 0 0 0 0 0 0 0 0 0 因此，对平，作初等变换有 Ao-sI A-1 A S-BSAB十E1…SANB十EN-1十·十E-1N- I 一sl… 0 0 2 0 1… 0 0 0 0 0 -sI A0-slA·A-1 AN -BAB十E1.SA-B十EN-1十大…十E-N- 0 0 -I 0 I 0 --1 0 0 0 -sI A0-slA1… A-1 o+…十sA-十i-H一BAB十Eu…-A-B十EN木…tE-1N 10… 0 0 01… 0 0 0 01 0 又由A十-A+…十sA-1十A=(A十s4)有 A-slA1…A(A十d)N-+11一BAB十E1…A一B十E-+…十E-1 0… 0 0 Ψ2 0 0 0 0 0… 故Ψ2行满秩当且仅当 [(A十4)N-IBAB十E1…A-B+EN-1+.十E-1N-] 行满秩， 又 Ao-I A A-1 B AB十E1…A一B+EN=1+…+E-1 -I 0 0 0 0 0 0 … -1 0 0 0 -1 平1 -C 0 0 0 米 -CA -CAL 0 : -CA -C(AA+AA)… 0 0 CAN-I -北 京 科 技 大 学 学 报 第 33卷 上面的矩阵 Ψ1和 Ψ2可以进一步简化．注意到Ａ＾0、Ｂ＾0、Ｅ＾、Ｅｊ和 Ｍｊ的结构‚特别是 Ｅ＾Ｅ1Ｍ1＋… ＋Ｅ＾ＥＮ－1ＭＮ－1…Ｍ1＝ 0 Ｅ11 Ｅ12＋Ｅ22 Ｅ13＋Ｅ23＋Ｅ33 … Ｅ1‚Ｎ－1＋Ｅ2‚Ｎ－1＋… ＋ＥＮ－1‚Ｎ－1 0 0 0 0 … 0      0 0 0 0 … 0 ． 因此‚对 Ψ2作初等变换有 Ψ2＝ Ａ ～ 0－ｓＩ Ａ ～ 1 … Ａ ～ Ｎ－1 Ａ ～ Ｎ ｓ Ｎ－1Ｂ ｓ Ｎ－1ＡＢ＋Ｅ11 … ｓ Ｎ－1Ａ Ｎ－1Ｂ＋Ｅ1‚Ｎ－1＋… ＋ＥＮ－1‚Ｎ－1 Ｉ －ｓＩ … 0 0 0 Ｉ … 0 0 0   ⋱   0 0 … Ｉ －ｓＩ → Ａ ～ 0－ｓＩ Ａ ～ 1 … Ａ ～ Ｎ－1 Ａ ～ Ｎ ｓ Ｎ－1Ｂ ｓ Ｎ－1ＡＢ＋Ｅ11 … ｓ Ｎ－1Ａ Ｎ－1Ｂ＋Ｅ1‚Ｎ－1＋… ＋ＥＮ－1‚Ｎ－1 Ｉ 0 … 0 －ｓ ＮＩ 0 Ｉ … 0 －ｓ Ｎ－1Ｉ 0   ⋱   0 0 … Ｉ －ｓＩ → Ａ ～ 0－ｓＩ Ａ ～ 1 … Ａ ～ Ｎ－1 ｓ ＮＡ ～ 0＋… ＋ｓＡ ～ Ｎ－1＋Ａ ～ Ｎ－ｓ Ｎ＋1Ｉ ｓ Ｎ－1Ｂ ｓ Ｎ－1ＡＢ＋Ｅ11 … ｓ Ｎ－1Ａ Ｎ－1Ｂ＋Ｅ1‚Ｎ－1＋… ＋ＥＮ－1‚Ｎ－1 Ｉ 0 … 0 0 0 Ｉ … 0 0 0   ⋱   0 0 … Ｉ 0 ‚ 又由 ｓ Ｎ Ａ ～ 0＋ｓ Ｎ－1Ａ ～ 1＋… ＋ｓＡ ～ Ｎ－1＋Ａ ～ Ｎ ＝（Ａ1＋ｓＡ） Ｎ 有 Ψ2→ Ａ ～ 0－ｓＩ Ａ ～ 1 … Ａ ～ Ｎ－1 （Ａ1＋ｓＡ） Ｎ －ｓ Ｎ＋1Ｉ ｓ Ｎ－1Ｂ ｓ Ｎ－1ＡＢ＋Ｅ11 … ｓ Ｎ－1Ａ Ｎ－1Ｂ＋Ｅ1‚Ｎ－1＋… ＋ＥＮ－1‚Ｎ－1 Ｉ 0 … 0 0 0 Ｉ … 0 0 0   ⋱   0 0 … Ｉ 0 ． 故 Ψ2行满秩当且仅当 （Ａ1＋ｓＡ） Ｎ －ｓ Ｎ＋1Ｉ ｓ Ｎ－1Ｂ ｓ Ｎ－1ＡＢ＋Ｅ11 … ｓ Ｎ－1Ａ Ｎ－1Ｂ＋Ｅ1‚Ｎ－1＋… ＋ＥＮ－1‚Ｎ－1 行满秩． 又 Ψ1＝ Ａ ～ 0－Ｉ Ａ ～ 1 … Ａ ～ Ｎ－1 Ａ ～ Ｎ Ｂ ＡＢ＋Ｅ11 … Ａ Ｎ－1Ｂ＋Ｅ1‚Ｎ－1＋… ＋ＥＮ－1‚Ｎ－1 Ｉ －Ｉ … 0 0 0 Ｉ ⋱ 0 0 0 0 0 ⋱ －Ｉ 0 0 0 … Ｉ －Ｉ －Ｃ 0 … 0 0 ∗ … … ∗ －ＣＡ －ＣＡ1 … 0 0   －ＣＡ 2 －Ｃ（ＡＡ1＋Ａ1Ａ） … 0 0         －ＣＡ Ｎ－1 －Ｃ＾（1） Ｎ2 … －Ｃ＾（1） Ｎ‚Ｎ－1 －ＣＡ Ｎ－1 1 ∗ … … ∗ ‚ ·370·