统称为单调集列 定理3单调集列必存在极限.并且 ()若A个,则mA,=UA (i)若A↓,则limA,=∩4 证明()因为A↑,故对任意n≥1,有∩4=A,∪A=U4.因此由定 理2得到 imA,=Un∩4=∪4 imA=∩UA=∩UA=U4 所以IimA=lmA=∪A这表明imA存在,并且imA,=∪A类似可证明结 论(i) 例2设A=(01-n1Bn=(01+n1则A个,B↓,并且 lim A,=UA, =(0, 1), lim B,=nB,=(0,1] 集的特征函数设A是X的子集.令 4(x)= 0若xgA 则A(x)为定义在X上的函数,称之为A的特征函数 小结本节介绍了集的基本概念,集的运算和运算性质.这些知识是本课程的基础.证 明两个集的相等是经常会遇到的,应掌握其证明方法. De morgan公式很重要,以后会经 常用到.例1中把一个集分解为一些较简单的集的运算,是应该掌握的有用的技巧.集列 的极限是一种与数列极限不同的极限,应正确理解其概念 习题习题一,第1题一第9题10 统称为单调集列. 定理 3 单调集列必存在极限. 并且 (ii). , lim . (i). , lim . 1 1 I U ∞ = →∞ ∞ = →∞ ↓ = ↑ = n n n n n n n n n n A A A A A A 若 则 若 则 证明 (i). 因为 An↑ , 故对任意 n ≥ 1, 有 , n k n Ak = A ∞ = I . 1 U U ∞ = ∞ = = k k k n Ak A 因此由定 理 2 得到 lim . 1 1 UI U ∞ = ∞ = ∞ = →∞ = = n n n n k n k n A A A lim . 1 1 1 1 IU IU U ∞ = ∞ = ∞ = ∞ = ∞ = →∞ = = = k k n k k n n k n k n A A A A 所以 lim lim . 1 U ∞ = →∞ →∞ = = n n n n n n A A A 这表明 n n A →∞ lim 存在, 并且 lim . 1 U ∞ = →∞ = n n n n A A 类似可证明结 论(ii). 例 2 设 ]. 1 ], (0,1 1 (0, 1 n B n An = − n = + 则 ↑ , ↓ , An Bn 并且 lim (0, 1), 1 = = ∞ = →∞ U n n n n A A lim (0, 1]. 1 = = ∞ = →∞ I n n n n B B 集的特征函数 设 A 是 X 的子集. 令    ∉ ∈ = 0 . 1 ( ) x A x A I x A 若 若 则 I (x) A 为定义在 X 上的函数, 称之为 A 的特征函数. 小 结 本节介绍了集的基本概念, 集的运算和运算性质. 这些知识是本课程的基础. 证 明两个集的相等是经常会遇到的, 应掌握其证明方法. De Morgan 公式很重要, 以后会经 常用到. 例 1 中把一个集分解为一些较简单的集的运算, 是应该掌握的有用的技巧. 集列 的极限是一种与数列极限不同的极限, 应正确理解其概念. 习 题 习题一, 第 1 题 第 9 题