为4,…,A的乘积集简称为乘积,记为A1x…xA或者。4 例如,二维欧氏空间R2可以看作是R与R的乘积,即R2=R×R(见图1-5) 又例如,E=[a,b×[c,d]就是平面上的长方形 RI (x1,x2) O XI 图 集列的极限设{A}是一列集.称集 {x:x属于无穷多个An,n≥1} 为集列{An}的上极限,记为 lim a称集 {x:x至多不属于有限多个An,n≥1} 为集列{A}的下极限,记为limA显然 lim a clim a若imAn= lim a,则称集 n→ 列{An}存在极限,并称A= lim a=limA,为集列{An}的极限,记为imA 定理2设{An}是一列集.则 imA=∩UA,ImA,=U∩A 证明我们有 imAn={x:x属于无穷多个An,n≥1} ={x:对任意n≥1,存在k≥n,使得x∈Ak} ={x:对任意n2xeU4}=∩UA 类似地可证明第二式■ 设{A4n}是一列集.若对每个n≥1,均有 A cA(相应地 A, CA),则称{An} 是单调增加的,记为A↑(相应地,单调减少的,记为A1↓).单调增加和单调减少的集列9 为 A An , , 1 L 的乘积集(简称为乘积), 记为 A1 ×L× An 或者∏= n i Ai 1 . 例如, 二维欧氏空间 2 R 可以看作是 1 R 与 1 R 的乘积, 即 2 1 1 R = R × R (见图 1 5). 又例如, E = [a,b]×[c, d]就是平面上的长方形. 图 1 5 集列的极限 设{ } An 是一列集. 称集 {x : x 属于无穷多个 A , n ≥ 1} n 为集列{ } An 的上极限, 记为 lim . n n A →∞ 称集 {x : x 至多不属于有限多个 A , n ≥ 1} n 为集列{ } An 的下极限,记为 lim . n n A →∞ 显然 ⊂ →∞ n n lim A lim . n n A →∞ 若 = →∞ n n lim A lim , n n A →∞ 则称集 列{ } An 存在极限, 并称 A = = →∞ n n lim A n n A →∞ lim 为集列{ } An 的极限, 记为lim . n n A →∞ 定理 2 设{ } An 是一列集. 则 IU UI ∞ = ∞ = →∞ ∞ = ∞ = →∞ = = 1 1 lim , lim . n n k n k n n n k n k n A A A A 证明 我们有 { : 1, } . { : 1, , } lim { : , 1} 1 U IU ∞ = ∞ = ∞ = →∞ = ≥ ∈ = = ≥ ≥ ∈ = ≥ n n k k k n k k n n n x n x A A x n k n x A A x x A n 对任意 对任意 存在 使得 属于无穷多个 类似地可证明第二式. 设{ } An 是一列集. 若对每个 n ≥ 1, 均有 An ⊂ An+1 (相应地 An+1 ⊂ An ), 则称{ } An 是单调增加的, 记为 An↑ (相应地, 单调减少的, 记为 An ↓). 单调增加和单调减少的集列 O 1 x1 R 2 x ( , ) 1 2 x x 1 R 2 R