关于余运算还成立下面重要的运算法则 定理1( De morgan公式)设(A41)ar是一族集.则 ()(U4,)=∩4(并的余集等于余集的交) t∈T (i)(∩4)=U4(交的余集等于余集的并) 证明()设x∈(UA1),则x∪A.故对任意1∈T,xgA.即对任意 r∈T t∈T,x∈A.因此x∈∩4.这表明(UA)c∩4.上述推理可以反过来,即从 x∈∩4可以推出x∈(U4).这表明∩4c(4).因此()成立类似地可 以证明(i).■ 定理1的证明过程是证明两个集相等的典型方法 例1设{fn}是定义在集X上的一列实值函数.令A={x: lim f,(x)=0.} A=∩Unax(x<k (1) 证明由于lmf(x)=0当且仅当对任意k≥1,存在m≥1,使得对任意n≥m成 立(x)<k因此我们有 x∈A<k21,3m≥1,使得n≥m,x∈{x:n(x) ek21m≥1使得x∈∩{x:(x)< Wk2Lx∈Unx( ex∈∩Unx()kh 因此(1)成立■ 在例1中,集A的表达式(1)看起来较复杂,但它是通过比较简单的集 {x:n(x)<}的运算得到的,以后会看到集的这种表示方法是很有用的 乘积集设A1,…,A为n个集称集 {(x1…,xn):x1∈A1,i=1,…,n}8 关于余运算还成立下面重要的运算法则. 定理 1 (De Morgan 公式)设 At t∈T ( ) 是一族集. 则 U I t T C t C t T At A ∈ ∈ (i). ( ) = (并的余集等于余集的交), (ii) I U t T C t C t T At A ∈ ∈ ( ) = (交的余集等于余集的并). 证明 (i). 设 ( ) , C t T At x U ∈ ∈ 则 U . t T At x ∈ ∉ 故对任意 t ∈T, . At x ∉ 即对任意 t ∈T, . c At x ∈ 因此 I . t T c At x ∈ ∈ 这表明 (U ) I . t T c t C t T At A ∈ ∈ ⊂ 上述推理可以反过来, 即从 I t T c At x ∈ ∈ 可以推出 ( ) . C t T At x U ∈ ∈ 这表明 ( ) . C t T t t T c IAt UA ∈ ∈ ⊂ 因此 (i) 成立. 类似地可 以证明(ii). 定理 1 的证明过程是证明两个集相等的典型方法. 例 1 设{ }n f 是定义在集 X 上的一列实值函数. 令 = { : lim ( ) = 0.}. →∞ A x f x n n }. 1 { : ( ) 1 1 IUI ∞ = ∞ = ∞ = = < km m n n k A x f x (1) 证明 由于 lim ( ) = 0 →∞ f x n n 当且仅当对任意 k ≥ 1, 存在 m ≥ 1, 使得对任意 n ≥ m 成 立 . 1 ( ) k f x n < 因此我们有 }. 1 { : ( ) } 1 1, { : ( ) } 1 1, 1, { : ( ) } 1 1, 1, , { : ( ) 1 1 1 IUI UI I ∞ = ∞ = ∞ = ∞ = ∞ = ∞ = ⇔ ∈ < ⇔ ∀ ≥ ∈ < ⇔ ∀ ≥ ∃ ≥ ∈ < ∈ ⇔ ∀ ≥ ∃ ≥ ∀ ≥ ∈ < km m n n m m n n n m n n k x x f x k k x x f x k k m x x f x k x A k m n m x x f x 使得 使得 因此(1)成立. 在 例 1 中 , 集 A 的表达式 (1) 看起来较复杂 , 但它是通过比较简单的集 } 1 { : ( ) k x f x n < 的运算得到的, 以后会看到集的这种表示方法是很有用的. 乘积集 设 A An , , 1 L 为 n 个集. 称集 {( , , ) : , 1, , } 1 x x x A i n L n i ∈ i = L