微分流形上微分学—一流形上的微分运算一外微分与里积 复旦力学谢锡麟 16年4月21日 知识要素 .1外微分运算 定义1.1(外微分运算).对Vφ更∈A(TM),可定义以下外微分运算 d(x)=d(重1dr ∧ nb"a) dzn 1A…Adx∈+1(rM) 性质1.1(外微分运算的基本性质).外微分运算具有如下基本性质 1.线性性:对V更,亚∈(TM),a,B∈R,有 Poincare性:对更∈A(TM),有 d=d(d)=0 反导性:对V重∈A(TM),业∈A°(TM),有 d(更∧业)=匝∧业+(-1)更∧d业 证明通过直接计算,可证明外微分运算的基本性质 线性性 (a+B) 更 Adx21A∧dx 0 7a(a1t+B14r)dr3Adr2A…∧dr dxd2A…Ad+2n=+ sadra…Ad d更+Bdv微分流形上微分学 微分流形上微分学——流形上的微分运算 —外微分与里积 复旦力学 谢锡麟 2016 年 4 月 21 日 1 知识要素 1.1 外微分运算 定义 1.1 (外微分运算). 对 ∀ Φ ∈ Λ r (TM), 可定义以下外微分运算: dΦ(x) = d ( 1 r! Φi1···ir dx i1 ∧ · · · ∧ dx ir ) (x) , d ( 1 r! Φi1···ir ) ∧ dx i1 ∧ · · · ∧ dx ir = 1 r! ∂Φi1···ir ∂xs (x)dx s ∧ dx i1 ∧ · · · ∧ dx ir ∈ Λ r+1(TM). 性质 1.1 (外微分运算的基本性质). 外微分运算具有如下基本性质. 1. 线性性: 对 ∀ Φ, Ψ ∈ Λ r (TM), ∀ α, β ∈ R, 有 d(αΦ + βΨ) = αdΦ + βdΨ ∈ ∧r+1(TM); 2. Poincare 性: 对 ∀ Φ ∈ Λ r (TM), 有 d 2Φ = d(dΦ) = 0; 3. 反导性: 对 ∀ Φ ∈ Λ r (TM), Ψ ∈ Λ s (TM), 有 d(Φ ∧ Ψ) = dΦ ∧ Ψ + (−1)rΦ ∧ dΨ. 证明 通过直接计算, 可证明外微分运算的基本性质. 1. 线性性: d(αΦ + βΨ) = d ( α r! Φi1···ir + β r! Ψi1···ir ) ∧ dx i1 ∧ · · · ∧ dx ir = 1 r! ∂ ∂xs (αΦi1···ir + βΨi1···ir ) dx s ∧ dx i1 ∧ · · · ∧ dx ir = α r! ∂Φi1···ir ∂xs dx s ∧ dx i1 ∧ · · · ∧ dx ir + β r! ∂Ψi1···ir ∂xs dx s ∧ dx i1 ∧ · · · ∧ dx ir = αdΦ + βdΨ; 1