微分流形上微分学——流形上的微分运算一外微分与里积 谢锡麟 2. Poincare性 d=1()广山A…A, 故有 t(a)dx2∧dar3Adr21∧…Adr2=0 此处考虑到ax2(a)关于指标t和8的对称性,以及 dxt A dx关于指标t和8的反 对称性 3.反导性 d(A)=d/1 重1…1nd21A…^dr2Adr31A…Adr3 rsax(11-)(x)dn2AdA…dn2Adny2A…Adx [am购%X测(2)1aAdA…Adr+Ad 1「 dr2∧drA…AdrA(vn-,dmA…Ady +(-1)(一重1 idr2A…Adx2)A 1n;y(a)dr∧dr1∧ ∧ dna =d∧业+(-1)更Ad 定理12(外微分的内蕴形式).对V更∈A(TM),有 d中=(r+1)a(V⑧重) 证明考虑到 Christoffel符号关于协变指标的对称性,可有 d=Os() drsa dz2A……Ad4 1/0 Oars(a)-lsi pt rs,重1-xt)dx3Adr2A…Adx2r 1 V。重1…ida3Adx2A…∧da (r+1) rl-Vsir.i.o(dxs dr.8 dxr) (r+1)a(V重) 12里积运算 定义12(里积运算( Interior product).里积运算i更定义为 证:(Rm)更口证更∈-1(m), 此处 in更( )更(u,℃2,…,Ur)∈R,v2,……,Ur∈Rn微分流形上微分学 微分流形上微分学—— 流形上的微分运算 — 外微分与里积 谢锡麟 2. Poincare 性: dΦ = 1 r! ∂Φi1···ir ∂xs (x)dx s ∧ dx i1 ∧ · · · ∧ dx ir , 故有 d 2Φ = 1 r! ∂ 2Φi1···ir ∂xt∂xs (x)dx t ∧ dx s ∧ dx i1 ∧ · · · ∧ dx ir = 0. 此处考虑到 ∂ 2Φi1···ir ∂xt∂xs (x) 关于指标 t 和 s 的对称性, 以及 dx t ∧ dx s 关于指标 t 和 s 的反 对称性. 3. 反导性: d(Φ ∧ Ψ) = d ( 1 r!s! Φi1···irΨj1···js dx i1 ∧ · · · ∧ dx ir ∧ dx j1 ∧ · · · ∧ dx js ) = 1 r!s! ∂ ∂xt (Φi1···irΨj1···js ) (x)dx t ∧ dx i1 ∧ · · · ∧ dx ir ∧ dx j1 ∧ · · · ∧ dx js = 1 r!s! [ ∂Φi1···ir ∂xt (x)Ψj1···js + ∂Ψj1···js ∂xt (x)Φi1···ir ] dx t ∧ dx i1 ∧ · · · ∧ dx ir ∧ dx j1 ∧ · · · ∧ dx js = 1 r! [ ∂Φi1···ir ∂xt (x)dx t ∧ dx i1 ∧ · · · ∧ dx ir ] ∧ ( 1 s! Ψj1···js dx j1 ∧ · · · ∧ dx js ) + (−1)r ( 1 r! Φi1···ir dx i1 ∧ · · · ∧ dx ir ) ∧ 1 s! [ ∂Ψj1···js ∂xt (x)dx t ∧ dx j1 ∧ · · · ∧ dx js ] = dΦ ∧ Ψ + (−1)rΦ ∧ dΨ. 定理 1.2 (外微分的内蕴形式). 对 ∀ Φ ∈ Λ r (TM), 有 dΦ = (r + 1)A (∇ ⊗ Φ). 证明 考虑到 Christoffel 符号关于协变指标的对称性, 可有 dΦ = 1 r! ∂Φi1···ir ∂xs (x)dx s ∧ dx i1 ∧ · · · ∧ dx ir = 1 r! ( ∂Φi1···ir ∂xs (x) − Γ t si1 Φti2···ir − · · · Γ t sir Φi1···ir−1t ) dx s ∧ dx i1 ∧ · · · ∧ dx ir = 1 r! ∇sΦi1···ir dx s ∧ dx i1 ∧ · · · ∧ dx ir = (r + 1)! r! ∇sΦi1···irA (dx s ⊗ dx i1 ⊗ · · · ⊗ dx ir ) = (r + 1)A (∇ ⊗ Φ). 1.2 里积运算 定义 1.2 (里积运算 (Interior product)). 里积运算 iuΦ 定义为 iuΦ : T r (R m) ∋ Φ 7→ iuΦ ∈ T r−1 (R m), 此处 iuΦ(v2, · · · , vr) , Φ(u, v2, · · · , vr) ∈ R, ∀ v2, · · · , vr ∈ R m. 2