微分流形上微分学——流形上的微分运算一外微分与里 谢锡麟 性质13(里积运算的基本性质1).里积运算的基本性质可归纳如下 1.i(a更+y)=an更+Bi业,Ⅴa,B∈R,V重,业∈(Rm); 证明可基于里积运算的定义,证明其基本性质1 1.根据定义,有 a更+厘)(v2,…,wn)全(a重+)u,U2,…,v) a(u,U2,…,Ur)+By(t, =(ain更+Bin重)(v2,…,Ur), 即有i4(a+)=ain更+Bi 2.根据定义,有 )全更(au+B =a更(u,v2,……,U)+匝更(v,U2,…,vr) =(aa更+Bin更)(v2,……,Ur), 即有ia+Bn=ai更+Bi更,亦即有 aiu+Bi 至此证毕 性质1.4(里积运算的基本性质2) 1.in(0A…A,)=∑(-1)+1(n,01A…A62A…An 此处aO2=02(u),VO1,…,Or∈T*M,u∈TM,其中θ1A…A1∧……∧θ,表示在作 用过程中去掉带圈的项 2.反导性:对V更∈A(TM),Y∈A(TM),有 u(更∧业)=i更∧业+(-1)更∧a业 证明可基于里积运算的定义以及基本性质1,证明其基本性质2.微分流形上微分学 微分流形上微分学—— 流形上的微分运算 — 外微分与里积 谢锡麟 性质 1.3 (里积运算的基本性质 1). 里积运算的基本性质可归纳如下. 1. iu(αΦ + βΨ) = αiuΦ + βiuΨ, ∀ α, β ∈ R, ∀ Φ, Ψ ∈ T r (R m); 2. iαu+βv = αiu + βiv. 证明 可基于里积运算的定义, 证明其基本性质 1. 1. 根据定义, 有 iu(αΦ + βΨ)(v2, · · · , vr) , (αΦ + βΨ)(u, v2, · · · , vr) = αΦ(u, v2, · · · , vr) + βΨ(u, v2, · · · , vr) = (αiuΦ + βiuΨ)(v2, · · · , vr), 即有 iu(αΦ + βΨ) = αiuΦ + βiuΨ. 2. 根据定义, 有 iαu+βvΦ(v2, · · · , vr) , Φ(αu + βv, v2, · · · , vr) = αΦ(u, v2, · · · , vr) + βΦ(v, v2, · · · , vr) = (αiuΦ + βivΦ)(v2, · · · , vr), 即有 iαu+βvΦ = αiuΦ + βivΦ, 亦即有 iαu+βv = αiu + βiv. 至此证毕. 性质 1.4 (里积运算的基本性质 2). 1. iu(θ1 ∧ · · · ∧ θr) = ∑r i=1 (−1)i+1(iuθi)θ1 ∧ · · · ∧ ◦ θi ∧ · · · ∧ θr 此处 iuθi = θi(u), ∀ θ1, · · · , θr ∈ T ∗M, u ∈ TM, 其中 θ1 ∧ · · · ∧ ◦ θi ∧ · · · ∧ θr 表示在作 用过程中去掉带圈的项. 2. 反导性: 对 ∀ Φ ∈ Λ r (TM), ∀ Ψ ∈ Λ s (TM), 有 iu(Φ ∧ Ψ) = iuΦ ∧ Ψ + (−1)rΦ ∧ iuΨ. 证明 可基于里积运算的定义以及基本性质 1, 证明其基本性质 2. 3