微分流形上微分学——流形上的微分运算一外微分与里积 谢锡麟 1.根据定义,有 in(61A…∧6,)(v2,…,vn)≌61A…∧θr(u,v2,……,vr) e1(u)61(v2)…1(v a(u)62(v2) Bi (ur) (u)b(v2) 10 n)( 即有 in(01A…A0,)=∑(-1)+1(n)1∧…∧O1A…AO 2.基于性质(1),计算 1 重∧重) 1-x+1…d21A… a dar dr32A…Ady rIs 西1,y1-ind21A… a dxr adx1A…Adry2) n-∑ Adx+∑(-1y++iadr)d2A… a dzr a dxi A…AdA ∧dax 1… (-1)P+1(adr2)dx2A…Adr2A…∧d2 s1-dA…∧dr3)+(-1) "in dir ∧……∧da ∑(-1)+1( u.ra)d in更A∧业+(-1)更∧in重 定理1.5(外微分计算式).对Ⅴ重∈A(TM),有 p(u1,…:,x+1)=∑(-1)+u((u1,…,,…,ur+1) +∑(-1)+p(u,u,u …,ur+1) 1≤<j≤r+1微分流形上微分学 微分流形上微分学—— 流形上的微分运算 — 外微分与里积 谢锡麟 1. 根据定义, 有 iu(θ1 ∧ · · · ∧ θr)(v2, · · · , vr) , θ1 ∧ · · · ∧ θr(u, v2, · · · , vr) =               θ1(u) θ1(v2) · · · θ1(vr) . . . . . . . . . θi(u) θi(v2) · · · θi(vr) . . . . . . . . . θr(u) θr(v2) · · · θr(vr)               = ∑r i=1 (−1)i+1θi(u)(θ1 ∧ · · · ∧ ◦ θi ∧ · · · ∧ θr)(v2, · · · , vr), 即有 iu(θ1 ∧ · · · ∧ θr) = ∑r i=1 (−1)i+1(iuθi)θ1 ∧ · · · ∧ ◦ θi ∧ · · · ∧ θr. 2. 基于性质 (1), 计算 iu(Φ ∧ Ψ) = iu ( 1 r!s! Φi1···irΨj1···js dx i1 ∧ · · · ∧ dx ir ∧ dx j1 ∧ · · · ∧ dx js ) = 1 r!s! Φi1···irΨj1···js iu(dx i1 ∧ · · · ∧ dx ir ∧ dx j1 ∧ · · · ∧ dx js ) = 1 r!s! Φi1···irΨj1···js [∑r p=1 (−1)p+1(iudx ip )dx i1 ∧ · · · ∧ ◦ dx ip ∧ · · · ∧ dx ir ∧ dx j1 ∧ · · · ∧ dx js + ∑s q=1 (−1)r+q+1(iudx jq )dx i1 ∧ · · · ∧ dx ir ∧ dx j1 ∧ · · · ∧ ◦ dx jq ∧ · · · ∧ dx js ] =   1 r! Φi1···ir ∑r p=1 (−1)p+1(iudx ip )dx i1 ∧ · · · ∧ ◦ dx ip ∧ · · · ∧ dx ir   ∧ ( 1 s! Ψj1···js dx j1 ∧ · · · ∧ dx js ) + (−1)r ( 1 r! Φi1···ir dx i1 ∧ · · · ∧ dx ir ) ∧   1 s! Ψj1···js ∑s q=1 (−1)q+1(iudx jq )dx j1 ∧ · · · ∧ ◦ dx jq ∧ · · · ∧ dx js   = iuΦ ∧ Ψ + (−1)rΦ ∧ iuΨ. 定理 1.5 (外微分计算式). 对 ∀ Φ ∈ Λ r (TM), 有 dΦ(u1, · · · ,ur+1) = ∑r+1 i=1 (−1)i+1ui(Φ(u1, · · · , ◦ ui , · · · ,ur+1)) + ∑ 16i<j6r+1 (−1)i+jΦ([ui ,uj ],u1, · · · , ◦ ui , · · · , ◦ uj , · · · ,ur+1). 4