微分流形上微分学——流形上的微分运算一外微分与里积 谢锡麟 证明利用数学归纳法,设对r-1阶反对称张量成立关系式,以下考虑更∈A(TM).计算 ,u+1)-(doin重)(u2,…,tr+1) 1 L Ur+l )-∑更2,…,u,l,…,u+) 1)2u 更 ∑(-1)+1n(u,1,m…, 1(4p( 1)∑ 1,ui,u2 Li, uil, u1 2≤i<j≤r+1 +∑(1)+(u11…,…,,…,+) 考虑w∈A(TM),则有 d(X,Y)=X(u(Y)-Y(u(X)-w(X,Y]),VX,Ye6(TM 此式亦可通过直接计算获得,如下所 dw(X,Y)=d(widz)= dw (a)dr Adr(X,Y) dw arj()(dao dr'-dxr's da)(x, r) dw ((xjY-xr) 等式右端为 X(w())-Y(w(X)-w(X,Y =x(u r)-Y(w: x)-u(xar Yi aD) ax arl 0X2微分流形上微分学 微分流形上微分学—— 流形上的微分运算 — 外微分与里积 谢锡麟 证明 利用数学归纳法, 设对 r − 1 阶反对称张量成立关系式, 以下考虑 Φ ∈ Λ r (TM). 计算 dΦ(u1, · · · ,ur+1) = (iu1 ◦ dΦ(u2, · · · ,ur+1) = Lu1Φ(u2, · · · ,ur+1) − (d ◦ iu1Φ)(u2, · · · ,ur+1) = u1(Φ(u2, · · · ,ur+1)) − ∑r+1 i=2 Φ(u2, · · · , [u1,ui ], · · · ,ur+1) − ∑r+1 i=2 (−1)iui ( iu1Φ(u2, · · · , ◦ ui , · · · ,ur+1) ) − ∑ 26i<j6r+1 (−1)i+j iu1Φ ( [ui ,uj ],u2, · · · , ◦ ui , · · · , ◦ uj , · · · ,ur+1) = u1(Φ(u2, · · · ,ur+1)) +∑r+1 i=2 (−1)i+1ui ( Φ(u1, · · · , ◦ ui , · · · ,ur+1) ) + ∑r+1 i=2 (−1)i+1Φ ( [u1,ui ],u2, · · · , ◦ ui , · · · ,ur+1) + ∑ 26i<j6r+1 (−1)i+jΦ ( [ui ,uj ],u1, · · · , ◦ ui , · · · , ◦ uj , · · · ,ur+1) = ∑r+1 i=1 (−1)i+1ui ( Φ ( u1, · · · , ◦ ui , · · · ,ur+1)) + ∑ 16i<j6r+1 (−1)i+jΦ ( [ui ,uj ],u1, · · · , ◦ ui , · · · , ◦ uj , · · · ,ur+1) . 考虑 ω ∈ Λ 1 (TM), 则有 dω(X,Y ) = X(ω(Y )) − Y (ω(X)) − ω([X,Y ]), ∀ X,Y ∈ C ∞(TM). 此式亦可通过直接计算获得, 如下所示: dω(X,Y ) = d(ωidx i ) = ∂ωi ∂xj (x)dx j ∧ dx i (X,Y ) = ∂ωi ∂xj (x)(dx j ⊗ dx i − dx i ⊗ dx j )(X,Y ) = ∂ωi ∂xj (x)(XjY i − XiY j ). 等式右端为 X(ω(Y )) − Y (ω(X)) − ω([X,Y ]) = X(ωiY i ) − Y (ωiXi ) − ω ([Xi ∂ ∂xi , Y j ∂ ∂xj ]) = Xk ∂ ∂xk (ωiY i )(x) − Y k ∂ ∂xk (ωiXi )(x) − ω ( Xi ∂Y j ∂xi (x) ∂ ∂xj − Y j ∂Xi ∂xj (x) ∂ ∂xi ) = Xk ( ∂ωi ∂xk Y i + ωi ∂Y i ∂xk ) (x) − Y k ( ∂ωi ∂xk Xi + ωi ∂Xi ∂xk ) (x) − ωi ( Xj ∂Y i ∂xj − Y j ∂Xi ∂xj ) = ∂ωi ∂xk (x)(XkY i − XiY k ). 5