第26讲、晶体热力学性质 1、晶格振动能量—经典模型 1.晶格振动能量经典模型 ·晶格振动平均能量E=「md/e"ar,B 2.晶格振动能量——量子模型 可以写为E=ame" 3.比热 4.频率分布画数的 Einstein近似 简谐近似下,对相空间积分∫中的相空 5.频率分布函数的 Debve近似 间动量和位移做与温度有关的变量替换 6.定性怙计低江下晶格振动对比热贡献 P(r)=B-UP(R) dP(R)=B-3dP(R) u(r)=B-u(r) du(r)=B-3/du(R) P cm""jare-∑ P 种p∥45.2413che國体学 现积分内的量与温度无关∑FB+间 如果江度下降,比热低于D山long- Petit定律的 ·因此得到E=三山x"p-x常数= 值:引自Phys.Rev.184,68(1969) +ink 问题在哪里 ·比热 ·简谐近似不够好? 什么是简谐近似? 这就是能均分定理→每个简谐振动贡献kBT ·慨复力与位移成线性关 平 ·温度高好?温度低好? 園体中有N个原子,就有3N个简谐振动模 温度高,可以认为是简 此晶体平均能量等于3NkBT 谐近似不再有效 ·于是,C=3Nk比热与温度无关 但温度低,振动小, 理说,简谐近似应该 楚 温度越低越好 这个结果在100K温度数量级或以上与实验相符 ·现在实验不是这样 p∥45.24132che园体物学 452413- inche体嘲理学 比热的实验观察 2、晶格振动能量量子模型 · Dulong-Peti定律比热与温度无关,只在102K 声于是描写晶体中所有原子集体振动的量子 量级或以上湿度才有效 ·包含原子期性排列结构的信息 实验观察,低于宣温 ·考虑振动能量:以频率a振动,能量是量于化 绝缘体的比热以T下降 2 ·经典理论的能均分定理是不适用的!为什么? ·其中包括零点能,半经典处理,根据玻尔兹受 晶格振动的能量是量子化 统计理论,略去常数项后,在温度为时频率 的平均能量为 y 种45.2413yche是学 中p的4524L.1 http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 1 第26讲、晶体热力学性质 1. 晶格振动能量——经典模型 2. 晶格振动能量——量子模型 3. 比热 4. 频率分布函数的Einstein近似 5. 频率分布函数的Debye近似 6. 定性估计低温下晶格振动对比热贡献 http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 2 1、晶格振动能量——经典模型 • 就有 • 晶格振动平均能量 k T E He d e d H H B 1 = Γ Γ, = ∫ ∫ − − β β β ∫ Γ ∂ ∂ = − − E e d βH β • 可以写为 ln • 简谐近似下，对相空间积分 中的相空 间动量和位移做与温度有关的变量替换 ( ) ( ) () ( ) u( ) R u() () R u R u( ) R P R P R P R P R d d d d 1/ 2 3/ 2 1/ 2 3/ 2 , , − − − − = = = = β β β β ∫ Γ − e d βH ( ) ∫ ∑ ∫ ∫ ∑ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = Γ − + ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ Γ = Γ − + + − − − u P P 简谐 平衡 简谐 平衡 U M e d U U M e d d U N H 2 exp 2 exp 2 3 2 β β β β β http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 3 • 这就是能均分定理Æ每个简谐振动贡献kBT * 即用经典统计，根据能均分定理，每个自由度的平 均能量是kBTÆ动能和势能各一半 • 固体中有N个原子，就有3N个简谐振动模，因 此晶体平均能量等于3NkBT • 于是，CV=3NkBÆ比热与温度无关 * 这就是Dulong-Petit定律 * 这个结果在100K温度数量级或以上与实验相符 ( ) ∑ + ( ) u P R 简谐 U 2M 2 • 现积分内的量与温度无关 • 因此得到 E ( ) e U Nk T U N B 3 ln × = + 3 ∂ ∂ = − − 平衡 − 常数 平衡 β β β • 比热 3NkB T E CV = ∂ ∂ = http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 4 • 问题在哪里 * 简谐近似不够好？ • 什么是简谐近似? * 恢复力与位移成线性关 系 * 温度高好？温度低好？ →温度高，可以认为是简 谐近似不再有效 →但温度低，振动小，按 理说，简谐近似应该是 温度越低越好! • 现在实验不是这样 • 如果温度下降，比热低于Dulong-Petit定律的 值：引自Phys. Rev. 184, 68 (1969). http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 5 比热的实验观察 • Dulong-Petit定律比热与温度无关，只在102K 量级或以上温度才有效 • 实验观察，低于室温 * 绝缘体的比热以T3下降， * 金属则以AT+BT3下降 • 经典理论的能均分定理是不适用的！为什么？ • 晶格振动的能量是量子化 http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 6 2、晶格振动能量——量子模型 • 声子是描写晶体中所有原子集体振动的量子 * 包含原子周期性排列结构的信息 • 考虑振动能量：以频率ω振动，能量是量子化 的 ε n n ⎟hω ⇒ ε n = nhω ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = + 2 1 • 其中包括零点能，半经典处理，根据玻尔兹曼 统计理论，略去常数项后，在温度为T时频率 ω的平均能量为 ( ) k T e n e E n n n n B 0 0 1 = , = ∑ ∑ ∞ = − ∞ = − β ω ω ωβ ωβ 这里 h h h