常用的关系 如果用声子语言 In >e-p=- aB n-e-F ·晶格振动量子化声子 ·由此得到 ·声子写晶格原子集体摄动—可以作是声子气 shoe 声子不是实物粒子,声子敷不是固定的 E(a)== 声子可以产生和湮灭,声子数由玻色分布决定 这样,聶格振动的能亚取决于每个简正摄动频 对N个原子,每个原子3个自由度,得到 率的能量和该频率的声子占有 U=∑E(a)=∑ ·声子占有数该频率的简正振动的平均潋发数 #即温度T时,该频率声子的平均数 晶体共有3M个简谐振动,所以 U-=∑uo)b 种p∥45.2413che國体学 体理学 比热:低温k1<加oc a he 3、比热:高温 对kT>>ho 大大高于温度的振动模式对比热的贡献可忽略 =11-2+x+o2 这时,即使是复杂结构,也可不计光学支格波对比 因x<1,可取第一项,则得 Dulong-Petit定律 而对于声学支,a→0,q=0,不管温度多么 都不能忽喀低频对 贡献 a ho =∑kB=3NB 因只对声学支,可用线性关系,即0(q)-vp aT ho /kgt a-l 三个方向都相同 利用这个关系并将前面求和改成积分后 即当振子的热能量远大于谐振子量子,量子效 应可以惠略, Dulong- Petit定律咸立 a∑am Apa/kaT I ·在q空间的积分,各向同性 比热:中间温度 方 关于q是球对称的,所以 除了频率禁带外,频率也是连续分布的,因此为 方便起见,需要将求和改为积分 ·求和转换成积分,需引入频率分布函数(密度 aT分(2)be 总的格波数就是总的自由度数 作替换x=厘后,C=∑ dQ2 ro x'dx P p(aMdo=3N 利用 ∑∫ 那么求和变为积分 e 兼后得c需}34 种pp:的a45.24J“区um 趣452413 binche物理学2 http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 7 • 对N个原子，每个原子3个自由度，得到 • 常用的关系 ∑ ∑ ∑ − − − ∂ ∂ = − β β β β n n n e e ne ln • 由此得到 ∑ ( ) ∑ = = − = = N i i N i i i e U E 3 1 3 1 1 ω β ω ω h h • 如比较 ∑= = N i i U n 3 1 hω 1 1 − = ωiβ e n 得 h 正是声子能量 之和，如果n 是声子占据数 ( ) 1 0 0 − = = ∑ ∑ ∞ = − ∞ = − ωβ ωβ ωβ ω ω ω h h h h h e e n e E n n n n β β − ∂ − ∂ = − 1 e 1 ln 1 1 − = β e http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 8 如果用声子语言 • 晶格振动量子化Æ声子 * 声子描写晶格原子集体振动——可以看作是声子气 • 声子不是实物粒子，声子数不是固定的 * 声子可以产生和湮灭，声子数由玻色分布决定 • 这样，晶格振动的能量取决于每个简正振动频 率的能量和该频率的声子占有数 * 声子占有数=该频率的简正振动的平均激发数 # 即温度T时，该频率声子的平均数 * 晶体共有3N个简谐振动，所以 ∑ ( ) ∑ = = − = = N i k T i N i i i B e U u 3 1 / 3 1 1 ω ω ω h h http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 9 3、比热：高温 • 对 kBT >> hω = <<1 k T x B hω ( )⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ = − + + + + + = − 3 2 2 3 2 12 1 1 2 6 1 1 1 o x x x x x x x ex ... • 因x<<1，可取第一项，则得Dulong-Petit定律 B N i B N i i B i V k Nk T k T C 3 3 1 3 1 = = ∂ ∂ = ∑ ∑ = = ω / ω h h • 即当振子的热能量远大于谐振子量子，量子效 应可以忽略， Dulong-Petit定律成立 ∑= ∂ − ∂ = ∂ ∂ = N i k T i V i B T T e U C 3 1 1 ω / ω h h http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 10 比热：低温 kBT << hω ( ) ∑∫ ∂ − ∂ = 2 1 3 v q / k T p V p B e d v q T C h h π q • 大大高于温度的振动模式对比热的贡献可忽略 * 也即，温度很低时，热振动难以被激发，因此热振 动对比热的贡献很快地趋于零 * 这时，即使是复杂结构，也可不计光学支格波对比 热的贡献 • 而对于声学支， ωÆ0，qÆ0，不管温度多么 低，都不能忽略低频对比热的贡献 • 因只对声学支，可用线性关系，即ω(q)~vpq， 三个方向都相同 • 利用这个关系并将前面求和改成积分后， ∑= ∂ − ∂ = ∂ ∂ = N i k T i V i B T T e U C 3 1 1 ω / ω h h http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 11 • 在q空间的积分，各向同性， 关于q是球对称的，所以 ( ) ( ) 3 3 2 3 2 4 ~ 5 2 10 T v k T k v k T T C B B B V ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = ∂ ∂ = h h π π ( ) ∑∫ − Ω ∂ ∂ = s v q k T p V p B e q d dq v q T C 2 1 3 / 2 h h π • 作替换 后， k T v q x B p h = ( ) ( ) ( ) ∑∫ ∫∞ − Ω ∂ ∂ = s x p B V e d x dx v k T T C 0 3 3 3 4 h 2π 1 ( ) ∑∫ ∫∞ − Ω ∂ ∂ = s v q k T p V p B e d v q dq T C 0 / 3 3 2 1 h h π • 利用 并对vp平均 1 15 4 0 3 π = − ∫ ∞ x e x dx ∑∫ Ω = s p d v v 4π 1 3 1 1 3 3 • 最后得 ( ) ∑∫ ∂ − ∂ = 2 1 3 v q / k T p V p B e d v q T C h h π q http://10.45.24.132/~jgche/ 固体物理学 12 比热：中间温度 • 除了频率禁带外，频率也是连续分布的，因此为 方便起见，需要将求和改为积分 • 求和转换成积分，需引入频率分布函数（密度） * ρ(ω) ，即频率在ω和ω+dω之间的格波数 * 总的格波数就是总的自由度数 ( ) ∫ = ω 最大 ρ ω ω 0 d 3N • 那么求和变为积分 ∑= − = N i k T i i B e U 3 1 / 1 ω ω h h ( ) ∫ − = ω 最大 ω ρ ω ω ω 0 / 1 d e U h kBT h ∑= − = N i k T i i B e U 3 1 / 1 ω ω h h