含参量的积分 所以:r() 因而 (0)=/(0)+”r(0)d=0+ n(1+1-2)-xln2 例3:设n(x)=cos(m0-xsn6)d0,求证:(x)满足方程x+x+(x2-m2)n=0 证明:由定理3, )= sin(ne-xsine)(sine )de= sin( l0)sin ede (ne-xsin e )sin e 因而:x2u”+x foiL-x'sin20+x-n]cos(ne-xsine+sine sin(ne-xsine )de o((r cos e-n")cos(ne-xsin0)+xsine sin( ne-xsine)de fo((n+ rose)d sin(ne-x sin e)-sin(ne-xsine)d(n+r cos e ) )sin(ne-xsin0 )=0 故命题得证。 3可积性 证明令:F()/(y,G()(xy 方面,由于f(xy)∈C(D),所以(xy) 因而变上限积分F()可导,且F()=m(,)d 另一方面,y∈[a,变上限积分∫f(xy)∈C[小],所以 f(=/( 所以:F()=G(=),因此有F(=)=G(=) 又:z=a时,F(a)=G(a),所以:C=0 13.116含参量的积分 13.116 所以： ( ) ( ) 2 2 2 2 1 2 2 1 1 1 1 I p p pq q q q q q é ù ¢ = ê ú - = - ë û - - - + ，因而： ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 2 2 2 2 0 0 0 1 1 1 ln 1 1 ln 1 1 ln2 I I I d d q q q pq q q q q q q p q p q p - = + ¢ = + - + - = + - = + - - ò ò 例 3：设 ( ) ( ) 0 u x cos n x d sin p = - q q q ò ，求证：u x( ) 满足方程 ( ) 2 2 2 x u¢¢ ¢ + + xu x - = n u 0 。 证明： 由定理 3， ( ) ( )( ) ( ) 0 0 u x sin n x sin sin d sin n x d sin sin p p ¢ = - q q - -=- q q q q q q ò ò ( ) ( ) 2 0 u x cos n x d sin sin p ¢¢ = - - q q q q ò 因而： ( ) 2 2 2 x u¢¢ ¢ ++- xu x n u { ( ) ( )} {( ) ( ) ( )} { ( ) ( ) ( ) ( )} ( ) ( ) 2 2 2 2 0 2 2 2 0 0 0 sin cos sin sin sin sin cos cos sin sin sin sin cos sin sin sin sin cos cos sin sin 0 x x n n x x n x d x n n x x n x d n x d n x n x d n x n x n x p p p p q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q qqq = é ù - + - - + - ë û = - - + - = - + - - - + = - + - = ò ò ò 故命题得证。 3 可积性 定理 5：f ( x, y C )Î (D ) ，" Îz [a b, ]有： ( , , ) ( ) z z a a fxy dy dx f x y dx dy b b a a é ù é ù = êë úû ê ú ë û ò ò ò ò 。 证明： 令： ( ) ( , ) z a F z f x y dy dx b a é ù = ê ú ë û ò ò ， ( ) ( , ) z a G z f x y dx dy b a é ù = ê ú ë û ò ò 。 一方面，由于 f ( x, y C )Î (D ) ，所以 f ( x y, , )dy Cab [ ] b a Î ò 因而变上限积分 F z( ) 可导，且 F (z) fzy ( , )dy b a ¢ = ò ； 另一方面，" Îy [a b, ]，变上限积分 ( ) ( ) [ ] 1 , , z a f x y dxÎC a b ò ，所以： ( ) ( ) ( , ) z a a G z f x dx dy f z y dy z b b a é ù ¶ ¢ = = ê ú ë û ¶ ò ò ò 。 所以： F¢ ¢ (z) = G z( ) ，因此有 F (z) = + G(z C ) 。 又： z a = 时， F (a) = G a( )，所以：C = 0