数学分析讲义 证毕 推论:(x)∈C(D),则:∫ f(, y)dx dy 例4:设0<a<b,求积分/=r+2 Inx 解:由于 dy,所以 In x dx xdy dx In x =(4 b+1 X≠a 例5:设f(x)∈C(-+∞),(n≥1),令g(x)= (a) 求证:g(x)∈Cm(-m,+) 证明:f(x)-/(a)=0f( dt f(a+(x-a))dt=5or(a+i(x-a)( 所以:(=r(+(x),xa 又因为:f(a)=Cr(+(a-a)d,所以:g(x=J/(a+(x-a)d 由于f(x)∈Cm(-+∞),所以g(x)∈Cm(-,+∞)。 例6:计算积分/()=(1=2rs+r)d0,H|<1 解:在川1-6<1内1()可导,因此:()=「 2r-2cos8-de 01-2 rcos6+r r(0)=(-2cos)d0=0,而当r≠0时, r()= d0=-10-2arcta 0 1-2rcos0+r2 所以:()=0,/(r)=(0)= 13.117数学分析讲义 13.117 即： ( , , ) ( ) z z a a fxy dy dx f x y dx dy b b a a é ù é ù = êë úû ê ú ë û ò ò ò ò 。 证毕 推论： f ( x, y C )Î (D ) ，则： ( , , ) ( ) b b a a fxy dy dx f x y dx dy b b a a é ù é ù = êë úû ê ú ë û ò ò ò ò 。 例 4：设0 < a < b ，求积分 ò - = 1 0 ln dx x x x I b a 。 解： 由于 ò = - b a y b a x dy x x x ln ，所以： 1 1 1 0 0 0 1 1 0 ln 1 ln 1 1 1 b a b b y y a a y b b a a x x I dx x dy dx x dx dy x x dy b dy y y a + - éùéù = = = êúêú ëûëû + = = = + + + ò ò ò ò ò ò ò 例 5： 设 ( ) ( ) ( , ) n f x C Î -¥ +¥ ，(n ³1) ，令 ( ) ( ) ( ) ( ) f x f a x a g x x a f a x a ì - ï ¹ = í - ï ¢ = î 求证： ( ) ( ) ( ) 1 , n g x C - Î -¥ +¥ 。 证明： ( ) ( ) ( ( )) ( ( ))( ) 1 1 0 0 d f x f a fatxa dt f a t x a x a dt dt - = + - = ¢ + - - ò ò 所以： ( ) ( ) ( ( )) 1 0 f x f a fatxa dt x a - = ¢ + - - ò ， x a ¹ 又因为： ( ) ( ( )) 1 0 f ¢ ¢ a = f a + - t a a dt ò ，所以： ( ) ( ( )) 1 0 g x = f a ¢ + - t x a dt ò 。 由于 ( ) ( ) ( ) 1 , n f x C - ¢ Î -¥ +¥ ，所以 ( ) ( ) ( ) 1 , n g x C - Î -¥ +¥ 。 例 6：计算积分 ( ) ( ) 2 0 I r ln 1 2 rcos r d p = - + q q ò ， r <1。 解： 在 r £1 1 - < d 内 I r( )可导，因此： ( ) 2 0 2 2cos 1 2 cos r I r d r r p q q q - ¢ = - + ò 。 ( ) ( ) 0 I d 0 2cos 0 p ¢ = - = q q ò ，而当r ¹ 0时， ( ) 2 2 0 0 1 1 1 1 1 2arctan tan 0 1 2 cos 1 2 r r I r d r r r r r p p q q q q é ù - é æ ö - ù ¢ = - = - = ê ú ê ú ç ÷ ë û - + + ë û è ø ò 所以： I r ¢( ) º 0 ， I(r I ) º = (0 0 )