含参量的积分 82一致收敛与极限函数之性质 致收敛的概念 在讲授函数项级数之时,曾经介绍过函数序列的一致收敛的概念,我们说: fn(x)→f(x)是指: vE>0,N,当n>N时,wxeX,有:|(x)-f(x)<E 由于有了一致收敛性,极限函数f(x)的性质就可以由函数fn(x)的性质推得,如一致 收敛之函数序列保持连续性、可导性、可积性等等。 这里我们要讨论另一种形式的一致收敛性,它不再是指函数列的收敛性,而是一般函数 极限的一致收敛问题,即将函数列的一致收敛的过程推广至一般的极限过程之一致收敛性。 对于含参量的广义积分,一般其收敛收是指积分:「f(xy)的收敛性,上述积分 之收敛性等价于函数F(x,)=f(xy)当A→+时的极限性质,我们在这里试图 引入函数F(x,4)的一致收敛性来讨论极限函数f(xy)d之性质。 定义1:设Q(x)在X上定义,若vE>0,38>0,当yey,0<|y-<6时, Wx∈X,有(xy)-9(x)<E 则称f(x,y)对于X在y→(y∈y)时一致收敛到q(x), 记作:f(x,y)→q(x) 类似地,可定义y→+∞时的一致收敛性: 若vE>0,3M>0,当yey,y>M时,wx∈X,有/(x,y)-9(x)<E,称 f(x,y)对于X在y→+∞(y∈y)时一致收敛到q(x),记作f(x,y)→q(x) (-+∞) 例1:求证√x2+y2→x。 证明:由于:x2+y2 ,计+所以 vE>0,36=6>0,当<6时,Wx∈(一+∞),x+y- 所以 例2:求证vc>0,y→+时,一,在[c,+∞)上一致收敛性:但在(O,+∞)上不一致 收敛含参量的积分 13.118 §2 一致收敛与极限函数之性质 1 一致收敛的概念 在讲授函数项级数之时，曾经介绍过函数序列的一致收敛的概念，我们说： f n ( x)Þ f x( ) X 是指： " > e 0 ，$N ，当n N > 时，" Îx X ，有： f n ( x )- < f x( ) e 。 由于有了一致收敛性，极限函数 f x( ) 的性质就可以由函数 f x n ( )的性质推得，如一致 收敛之函数序列保持连续性、可导性、可积性等等。 这里我们要讨论另一种形式的一致收敛性，它不再是指函数列的收敛性，而是一般函数 极限的一致收敛问题，即将函数列的一致收敛的过程推广至一般的极限过程之一致收敛性。 对于含参量的广义积分，一般其收敛收是指积分： ( ) 0 f x y, dy +¥ ò 的收敛性，上述积分 之收敛性等价于函数 ( , , ) ( ) A a F x A = f x y dy ò 当 A ®+¥ 时的极限性质，我们在这里试图 引入函数 FxA ( , ) 的一致收敛性来讨论极限函数 ( ) 0 f x y, dy +¥ ò 之性质。 定义 1：设j( x) 在X 上定义，若" > e 0 ，$ > d 0 ，当 yÎY ，0 0 < y y - < d 时， " Îx X ，有 f ( x, y x ) - < j e ( ) 则称 f ( x y, ) 对于X 在 0 y y ® （ yÎY ）时一致收敛到j( x) ， 记作： ( ) ( ) 0 , y y f x y x j ® Þ X 。 类似地，可定义 y ®+¥ 时的一致收敛性： 若" > e 0 ，$ > M 0 ，当 yÎY ， y M> 时，" Îx X ，有 f ( x, y x ) - < j e ( ) ，称 f ( x y, ) 对于X 在 y ®+¥ （ yÎY ）时一致收敛到j( x) ，记作 ( , ) ( ) y f x y x j ®+¥ Þ X 。 例 1：求证 ( , ) 2 2 y 0 x y x -¥+¥ ® + Þ 。 证明： 由于： 2 2 2 2 y x y x y y xyx + - = £ + + ，所以： " > e 0 ，$=> d e 0，当 y < d 时，" Îx (-¥,+¥) ， 2 2 xyx +-< e ， 所以： ( , ) 2 2 y 0 x y x -¥+¥ ® + Þ 。 例 2：求证" >c 0， y ®+¥ 时， 1 xy +1 在[c,+¥) 上一致收敛性；但在(0,+¥) 上不一致 收敛