数学分析讲义 证明:当0<c≤x<+∞时,0< (y>0),所以 而对于X=(0,+∞),显然 0,但它不是一致收敛的,这是因为 彐 2 >0,对于VM>0,y>M时,3x=∈(0,+∞),使得 0==E0,这是一致收敛定义的逆否命题。 下面我们来讨论一致收敛之充要条件: 定理1:y→(y)+∞)时,f(x,y)在x∈X上一致收敛。 >M E>0,36>0,(M>0),当y,y”∈y,且0 < v>M WxEX, A: /(x, y)-f(x,]<E 证明:由一致收敛的定义,必要性是显然的 充分性:针对y→y证明 由条件知彐q(x),使得:lim∫(x,y)=q(x) 在条件中,令y"→y,则我们得到:VE>0,彐0>0,当y∈y,且 <y-yol X,有:|f(xy)-9(x) 这就是一致收敛的定义,所以:f(x,y)→9(x) 证毕 定理2:y→+∞(y→y)时,f(x,y)在x∈X上一致收敛到o(x)。分 ),均有:f(x,y)→q(x) 证明:由一致收敛的定义,必要性也是显然的 充分性:针对y→>+∞证明。 采用反证法,假设∫(x,y在x∈X上不一致收敛,则 彐E0>0,n,彐,∈y yn X,使得:|(xy)-(x) 这样构造出的yn∈y,y,→+,但f(xn,yn)不一致收敛于q(x), 与条件矛盾。所以反证法假设不成立。 证毕 13.119数学分析讲义 13.119 证明： 当0 < £c x <+¥ 时， 1 1 1 0 xy 1 1 cy cy <£< + + ，（ y > 0），所以 [ , ) 1 0 1 c xy y +¥ ®+¥ Þ + ； 而对于X = (0,+¥)，显然 1 0 1 y xy ®+¥ ® + ，但它不是一致收敛的，这是因为： 0 1 0 2 $=> e ，对于" > M 0 ， y M> 时， 0 ( ) 1 x 0, y $ = Î +¥ ，使得： 0 1 1 0 xy 1 2 -==e + ，这是一致收敛定义的逆否命题。 下面我们来讨论一致收敛之充要条件： 定理 1： 0 y y ® （ y ®+¥ ）时， f ( x y, ) 在 xÎX 上一致收敛。Û " > e 0 ，$ > d 0 ，（$ > M 0 ），当 y y ¢, ¢¢ÎY ，且 0 0 0 y y y y d ¢ - < < ¢¢ - （ y M y M ¢ > ¢¢ > ） 时，" Îx X ，有： f ( x, , y¢) - < f ( x y¢¢) e 证明： 由一致收敛的定义，必要性是显然的； 充分性：针对 0 y y ® 证明。 由条件知$j( x) ，使得： ( ) ( ) 0 lim , y y f x y x j ® = ； 在条件中，令 0 y y ¢¢ ® ，则我们得到： " > e 0 ， $ > d 0 ，当 y¢ÎY ，且 0 0 <-< y y ¢ d 时，" Îx X ，有： f ( x, y x ¢) - £ j e ( ) ， 这就是一致收敛的定义，所以： ( ) ( ) 0 , y y f x y x j ® Þ X 。 证毕 定理 2： y ®+¥ （ 0 y y ® ）时， f ( x y, ) 在 xÎX 上一致收敛到j( x) 。Û n " Î y Y ， n y ®+¥ （ n 0 y y ® ），均有： ( , n ) ( ) n f x y x j ®¥ Þ X 证明： 由一致收敛的定义，必要性也是显然的； 充分性：针对 y ®+¥ 证明。 采用反证法，假设 f ( x y, ) 在 xÎX 上不一致收敛，则： $ > e0 0 ，"n ， n $ Î y Y ， n y n > ， n $ Î x X ，使得： ( ) ( ) 0 , n n n f x y x - ³ j e 这样构造出的 n y ÎY ， n y ®+¥ ，但 fxy ( n n , ) 不一致收敛于j( x) ， 与条件矛盾。所以反证法假设不成立。 证毕