Methods of Mathematical Physics(2016. 12) Chapter 11 Methods of integral transforms YLMa'@ Phys. FDU w(k )e dk 求解。 w(k) w(r)e dr 其中F= i1和k Fourier变换后,方程变为 n(k,)+a2k2(k,1) p(k,,=v(k) 解之得, w(k, t)=p(k)cosakt+ y(k)sin akt 下面求解它的原函数,利用 sin ak sin ak sin ak kreose k'singdkdedc p k SS k sin ake sinedkde="sinaksinrkdk ei(r++e-i(r+ak -e(r-a)k-e-i(r-a)k 2r r sin ak sin rkdk 6(r+a)-6(r+a)+6(r-a)+6(r-a) (r-a) 其中,δ(r+a)=0,这是因为r≥0,a>0,因此r+a≠0 因此 m→acm 由卷积定理, akt 4 另外,c0 Saht a sin akt 1 a d(r-ar) v2 a at 由卷积定理,Methods of Mathematical Physics (2016.12) Chapter 11 Methods of integral transforms YLMa@Phys.FDU 6                           w k w r e r w r w k e k ik r ik r           ( ) d 2 1 ( ) ~ ( ) d ~ 2 1 ( ) 3 3   求解。 其中 1 2 3 ˆ ˆ ˆ r  xi  yi  zi  和 1 1 2 2 3 3 ˆ ˆ ˆ k k i k i k i    . Fourier 变换后，方程变为 2 2 0 0 ( , ) ( , ) 0, ( ), ( ). tt t t t w k t a k w k t w k w k             解之得， akt ak k w k t k akt sin ( ) ~ ( ) cos ~ ( , ) ~        . 下面求解它的原函数，利用 3 3 2 cos 2 0 0 0 cos 0 0 0 ( ) sin 1 sin 1 sin d sin d d d 2 2 1 1 2 sin sin d d sin sin d 2 2 1 1 1 1 sin sin d 2 2 ik r ikr ikr i r a k ak ak ak e k e k k k k k k ake k ak rk k r e ak rk k r r                                                    ( ) ( ) ( ) d 4 1 1 ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 ( ) , 2 i r a k i r a k i r a k e e e x r a r a r a r a r r a r                                其中， (r  a)  0 ，这是因为 r  0,a  0 ，因此 r a   0. 因此， sin ( ) . 2 akt r at ak ar     由卷积定理， sin 1 ( ) ( ) ( )d . 4 akt r k r r at r ak a r r             另外， sin 1 ( ) cos , 2 akt r at akt t ak a t r          由卷积定理