由定理11.5.1得 E 1.05)。0s1。-0s(05) 1+kk (k+1) e-05 2 (e-1)=21 0.5 n √e 例1.5.5设随机变量ξ的概率密度为 0. p(x) 求n=e25的数学期望En。 解由定理11.5.1得 En=E(e-25)=e-2p(x)dx 三.方差和标准差 在实际问题中,仅凭随机变量的数学期望(或平均值)常常并不能完全解决 问题,还要考察随机变量的取值与其数学期望的之间的离散程度。例如,考察两 个射击运动员的水平,自然会看他们的平均成绩,平均成绩好的,当然水平高些。 但如果两个运动员的平均成绩相差无几,就要进一步看他们的成绩稳定性,即各 次射击成绩与平均成绩的离散程度,离散程度越小,成绩越稳定。抽象地说就是 对于一个随机变量ξ,我们不但要考察其数学期望E5,还要考察-EE。我们 称ξ-Eξ为随机变量ξ的离差。显然,离差的数学期望为0,即E(-E5)=0。 因此,考虑离差的数学期望不能解决任何问题。我们自然会想到,这是由于 2-E的符号变化造成的。为了消除符号变化的影响,若使用E5-Eξ|,却带 来不便于计算的困难,因此在实际应用中常使用的是E(5-E)2,它易计算、实 用且有效。 定义11.5.3设是随机变量,若E(-E)2存在,则称它为5的方差,记 为D5 D5=E(5-E5) 显然D2≥0。由定理11.5.1可知,关于方差有以下的计算公式 (1)若ξ是离散型随机变量,其分布律为P(5=x)=P(i=1,2,…),则 D5=∑(x-E)p (2)若ξ是连续型随机变量,其概率密度为Q(x),则 D5=「(x-EB)2o(x)dt。 注意在实际应用中,DE与随机变量的量纲并不一致,为了保持量纲的一致 性,常考虑D的算术平方根,它称为5的均方差或标准差,记为a:或a,即由定理 11.5.1 得 . 1 ( 1) 2 1 2 1 ! (0.5) 0.5 1 ( 1)! (0.5) 0.5 1 ! (0.5) 1 1 1 1 0.5 0 0.5 0 1 0.5 0.5 0                                                  e e n e e k e e k k E E n n k k k  k  例 11.5.5 设随机变量  的概率密度为        0, 0. , 0, ( ) x e x x x  求   2  e 的数学期望 E 。 解 由定理 11.5.1 得      E  E e  e x dx x ( ) ( ) 2 2    3 1 0 3 0 2           e e dx e dx x x x 。 三．方差和标准差 在实际问题中，仅凭随机变量的数学期望（或平均值）常常并不能完全解决 问题，还要考察随机变量的取值与其数学期望的之间的离散程度。例如，考察两 个射击运动员的水平，自然会看他们的平均成绩，平均成绩好的，当然水平高些。 但如果两个运动员的平均成绩相差无几，就要进一步看他们的成绩稳定性，即各 次射击成绩与平均成绩的离散程度，离散程度越小，成绩越稳定。抽象地说就是， 对于一个随机变量  ，我们不但要考察其数学期望 E ，还要考察   E 。我们 称   E 为随机变量  的离差。显然，离差的数学期望为 0，即 E(  E)  0。 因此，考虑离差的数学期望不能解决任何问题。我们自然会想到，这是由于   E 的符号变化造成的。为了消除符号变化的影响，若使用 E |   E | ，却带 来不便于计算的困难，因此在实际应用中常使用的是 2 E(  E) ，它易计算、实 用且有效。 定义 11.5.3 设  是随机变量，若 2 E(  E) 存在，则称它为  的方差，记 为 D 。即 2 D  E(  E) 。 显然 D  0 。由定理 11.5.1 可知，关于方差有以下的计算公式： （1）若  是离散型随机变量，其分布律为 i pi P(  x )  （ i 1,2,  ），则 i i D  xi E p     1 2  ( ) 。 （2）若  是连续型随机变量，其概率密度为 (x) ，则 D x E x dx     (  ) ( ) 2    。 注意在实际应用中， D 与随机变量  的量纲并不一致，为了保持量纲的一致 性，常考虑 D 的算术平方根，它称为  的均方差或标准差，记为   或  ，即    D