矩阵的秩是矩阵的一个重要的数字特征 显然,若两个矩阵有相同的秩,则这两个矩 阵有相同的标准形,从而等价;反之,若两个 矩阵等价,则它们的秩相同。即有: 定理:矩阵A与B等价的充要条件是r(4)=r(B 请记住:矩阵是否等价只须看矩阵的秩是否相同。 满秩矩阵 定义:若方阵A的秩与其阶数相等,则称A为满秩矩阵; 否则称为降秩矩阵。 E-满秩阵 (满秩非奇异降秩奇异)O--降秩阵 定理:设A为满秩阵,则A的标准形为同阶单位阵E.即 AE显然，若两个矩阵有相同的秩，则这两个矩 阵有相同的标准形，从而等价；反之，若两个 矩阵等价，则它们的秩相同。即有： 定理：矩阵A 与 B等价的充要条件是r(A)=r(B). !!! 请记住：矩阵是否等价只须看矩阵的秩是否相同。 满秩矩阵 定义：若方阵A的秩与其阶数相等，则称A为满秩矩阵； 否则称为降秩矩阵。 ( 满秩 ⇔非奇异 降秩 ⇔奇异） E----满秩阵 O----降秩阵 定理：设A为满秩阵，则 A的标准形为同阶单位阵 E . 即 A ≅ E 矩阵的秩是矩阵的一个重要的数字特征