推论1:以下命题等价: (i)A满秩;(i)AE;(i)A非奇异; (i)A=RP…Pn(其中P为初等矩阵 证 ()<(i)<(i (:r(4)=n,|A≠0 定理 即A非奇异) (i)→(iv):∵AE,∴彐初等矩阵 P 51m5 使 A=BP2…BEB+1…Pm=BP2…BR+1…Pn (iv)→(i):A=P1P2…Pm A≈E B1P2…Pm ()兮(i)冷(i)冷(in)推论 1：以下命题等价： )( Ai 满秩； ≅ EAii ;)( )( Aiii 非奇异； )( (; ) = 21 L m 其中PPPPAiv i为初等矩阵。 ⇔ ⇔ iiiiii )()()( 定理 ) ,0,)(( 即 A非奇异 Q AnAr ≠∴= ⇒ ivii :)()( Q ≅ EA , 21 L ， ll + 1 L PPPPP m ,,,,,, 使 = 21 L + 1 LPEPPPPA mll = 21 + 1 LL PPPPP mll ⇒ iiiv :)()( Q = 21 L PPPA m = 21 L m EPPP ∴ A ≅ E ∴ ∃初等矩阵 ⇔∴ ⇔ ⇔ iviiiiii )()()()( 证