278 高等数学重点难点100讲 成的旋转曲面的方程,若将z改成±√x2+z2,便得到曲线C绕y轴旋转所成的旋转曲面的 方程 其余坐标面上的曲线绕轴旋转所形成的旋转曲面的方程可类似得出 例4写出下列旋转曲面的方程 (1)直线z=ky绕z轴旋转一周;(2)抛物线z2=5x绕x轴旋转一周; (3)双曲线4x2-9y2=36分别绕x轴及y轴旋转一周 解(1)注意:平面曲线绕某轴旋转,则该坐标所对应的变量不变,所以将方程z=ky 中的y改成±√x2+y2,即得曲线绕z轴旋转一周所生成的旋转曲面的方程z=k(土 √+y),两边平方并令k=1,得x2+y2=a2,这即是(中心轴为z轴的)圆锥曲面方 程(见图72-7) (2)将方程z2=5x中的x改成士√y2+z2,即得曲线绕x轴旋转一周所生成的旋转 曲面的方程为(±√y2+z2)2=5x,即y2+x2=5x,称为(中心轴为x轴的)旋转抛物面 (见图72-8) 图72 图72-8 (3)将xOy面上的双曲线4x2-9y2=36绕x转旋转一周所生成的旋转曲面的方程为 4x2-9(y2+2)=36,即2-y+2=1,称为旋转双叶双曲面(见图729绕y轴旋转 周所生成的旋转曲面的方程为4(x2+y)-9y2=36即 22-1,称为旋转单 叶双曲面(见图72-10) 图72-9 图72-10 例5求证(y2+z2)(1+x2)2=1是旋转曲面 证(1)以平面曲线/(1+x)2=1或{-1+x为母线,x轴为旋转轴, z=0 可得已给曲面(见图72-11(a))