第72讲曲面 277 3x+2y=6 图72-1 图72-2 图72-3 图72-4 般地,仅含x,y而缺z的方程F(x,y)=0在空间直角坐标系中表示母线平行于z轴 的柱面其准线是xOy面上的曲线C:F(x,y)=0(图72-4) 类似地只含x,z而缺y的方程G(x,z)=0和只含y,z而缺x的方程H(y,z)=0分 别表示母线平行于y轴和z轴的柱面 例2求证下列的曲面表示柱面,并作简图: (1)y2=x3;(2)(x2+y2)2=a2(x2-y2). 证(1)若一曲面方程仅含两个变量,则此曲面 必是一个柱面,它的母线平行于所缺的那个变量所对 应的坐标轴.曲面y2=x3仅含两个变量,故它表示以 xOy面即z=0平面上的半立方抛物线y2=x3,z=0 为准线,z轴方向为母线方向的柱面(见图72-5) (2)曲面(x2+y2)2=a2(x2-y2)仅含两个变 量,故它表示以双纽线r2=a2cos26,z=0为准线,z轴 图72-5 图726 方向为母线方向的柱面(见图72-6). 例3求准线是+y2=(平面上的圆x2+y2=25),母线平行于向量v z=0 ={5,3,2}的柱面方程 解设P{x,y,z》是柱面上任一指定的点,由条件知:在准线上存在对应点Q{x 0),使QP∥v,即{x-x,y-y,z-0}∥{5,3,2}.亦即有 由此得x=x-2y=y-B,与x2+y2=25联立,消去x,y,得 22+(y-2=25,或(2x-5)2+(2y-3x) 即是所求的柱面方程 、旋转曲面 平面曲线C绕其所在平面上的一条直线旋转一周所形成的曲面叫做旋转曲面,这条定 直线叫做旋转曲面的轴 设C是yOz面上的一条已知曲线,方程为f(y,z)=0,C绕z轴旋转一周所得的旋转 曲面的方程为∫(±√x+y2,x)=0C绕y轴旋转一周,所得的旋转曲面的方程为∫(y,± x2+y2)=0 注意在曲线方程f(y,z)=0中若将y改成±√x+y,即得曲线C绕z轴旋转所