276 高等数学重点难点100讲 第72讲茴面 、曲面方程的一般概念 在平面解析几何中我们把平面曲线看作是动点按一定规律在平面上运动的轨迹,类似 地我们把空间中的曲面看作是动点按照某一规律在空间中运动的轨迹,而动点的运动规律 又可以转化为点的坐标(x,y,z)所适合的规律,这种规律通常表示为坐标所满足的方程 F(x,y,z)=0或z=f(x,y) 如果曲面S与三元方程F(x,y,z)=0(或z=f(x,y))有下面关系: (1)曲面S上任一点的坐标都满足方程; (2)不在曲面S上的点的坐标都不满足方程 那么,这个方程叫做曲面S的方程,曲面S叫做这个方程的图形 要检查某一点是否在曲面上,只要把该点的坐标代入曲面的方程,看它是否满足此方程 即可,若满足方程则说明该点在曲面上,若不满足方程则说明该点不在曲面上 例如,以定点M(x0,y,z0)为球心,半径为R的球面方程为 (x-x0)2+(y-y)2+(z-x0)2=R 例1求与原点O及点M(2,3,4)的距离之比为1:2的点的全体所组成的曲面方程 它表示怎样的曲面? 解设满足题设条件的点为P(x,y,z),依题意有 lOP +y2+ PM√(x-2)2+(y-3)2+(x-4)2 化简整理得 (x+)2+(y+1)2+(z+4)2116 2 它表示以(-2,-1,3 3 )为球心,√29为半径的球面 由例1可见:曲面S可以用它上面的点的坐标间的三元方程F(x,y,z)=0表示,已知 曲面S,建立这曲面的方程F(x,y,z)=0,是空间解析几何中关于曲面研究的第一个基本问 题;关于曲面研究的第二个基本问题是:已知坐标x,y,z间的一个方程F(x,y,z)=0时( 般来说它表示一张曲面),讨论这方程所表示的曲面S的形状 已知三元一次方程F(x,y,z)=0表示一张平面,称为一次曲面.二次方程表示的曲面 为二次曲面,下面讨论常见的二次曲面 柱面 柱面是一种常见的曲面设有一条定曲线C及定直线l,平行于定直线的动直线L沿曲 线C作平行移动,动直线L所形成的曲面叫做柱面定曲线C称为柱面的准线动直线L称 为柱面的母线,若C是二次曲线,该柱面称为二次柱面 例如,方程x2+y2=R2在xOy面上表示圆心在原点,半径为R的圆,在空间直角坐标 系中表示以该圆为准线,母线平行于z轴的圆柱面(图72-1).类似地,方程y=2x2表示母线 平行于z轴的柱面,它的准线是xOy面上的抛物线y=2x2,该柱面称为抛物柱面(图72-2) 又如,方程3x+2y=6表示母线平行于z轴的柱面,它的准线是xOy面上的直线3x+ 2y=6,所以它是平行于z轴的平面(图72-3)