从而所求立体在xO:面上的投影为： 例12已知平面：过点M,0,-)和直线么受：=，求平面：的方程， 0 分析求平面方程，关键是弄清楚构成平面的基本要素：一个点和法向量或者不在同一 直线上的三个点.本题己知一个点和一条直线在所求平面上，故容易求出构成平面的基本要 素 解法1设平面x的法向量为m,直线L的方向向量马=(2,0，)，由题意可知n1马， M(2,1,1)是直线1上的一点，则M。M=(L,l2)在x上，所以n1MM,故可取 n=马×MM,=(-1,-3,2).则所求平面的点法式方程为 1(x-1)+30-0)-2(2+)=0, 即x+3y-2:-3=0为所求平面方程. 解法2设平面π的一般方程为：++C:+D=0,由题意可知，π过点M。L,0,-) 故有 A-C+D=0. (1) 在直线L上任取两点M,(2,1,M,(41,2),将其代入平面方程，得 2A+B+C+D=0, (2) 4A+B+2C+D=0 (3) 由式(1)(2)、(3)解得 B=3AC=-2AD=-3A. 故平面x的方程为x+3y-2:-3=0. 解法3设M(x,y,)为π上任一点.由题意知向量MM、MM和s共面，其中 M(2,11)为直线1上的点，s=(20,)为直线1，的方向向量.因此 (MM×MoM)-号=0， 故平面x的方程为 x-1-0+ 21 1-01+1=0, 201 即x+3y-2:-3=0为所求平面方程. 注解法1和解法2是求平面方程的两种基本方法，解法3用到了三个向量共面的充要 条件，即三个向量的混合积为零. 例13求平行于平面π。：x+2v+3:+4=0且与球面∑：x2+y2+:2=9相切的平面π的 方程 分析求平行于坐标面（轴）或平行于某己知平面，且满足另一约束条件的平面方程， 通常设所求平面方程为Ax++C+D=0,再由题设条件确定系数A,B,C,D。从而所求立体在 xOy 面上的投影为： 2 2 x y + 1． 例 12 已知平面  过点 0 M (1,0, 1) − 和直线 1 2 1 1 : 2 0 1 x y z L − − − = = ，求平面  的方程． 分析 求平面方程，关键是弄清楚构成平面的基本要素：一个点和法向量或者不在同一 直线上的三个点．本题已知一个点和一条直线在所求平面上，故容易求出构成平面的基本要 素． 解法 1 设平面  的法向量为 n ，直线 L1 的方向向量 1 s = (2,0,1) ，由题意可知 n s ⊥ 1 ， M (2,1,1) 是直线 L1 上的一点 , 则 0 M M = (1,1,2) 在  上，所以 n ⊥ MM0 , 故可取 n s = 1 0 MM = − − ( 1, 3, 2) ．则所求平面的点法式方程为 1 ( 1) 3 ( 0) 2 ( 1) 0  − +  − −  + = x y z ， 即 x y z + − − = 3 2 3 0 为所求平面方程． 解法 2 设平面  的一般方程为 Ax By Cz D + + + = 0 ，由题意可知，  过点 0 M (1,0, 1) − ， 故有 A C D − + = 0 , （1） 在直线 L1 上任取两点 1 2 M M (2,1,1), (4,1,2) ，将其代入平面方程，得 2 0 A B C D + + + = , （2） 4 2 0 A B C D + + + = , （3） 由式（1）、（2）、（3）解得 B A C A D A = = − = − 3 , 2 , 3 , 故平面  的方程为 x y z + − − = 3 2 3 0. 解法 3 设 M x y z ( , , ) 为  上任一点．由题意知向量 M M0 、 M M0 1 和 1 s 共面，其中 M1 (2,1,1) 为直线 L1 上的点， 1 s = (2,0,1) 为直线 L1 的方向向量．因此 0 0 1 1 ( ) 0 M M M M   = s ， 故平面  的方程为 1 0 1 2 1 1 0 1 1 0 2 0 1 x y z − − + − − + = ， 即 x y z + − − = 3 2 3 0 为所求平面方程． 注 解法 1 和解法 2 是求平面方程的两种基本方法，解法 3 用到了三个向量共面的充要 条件，即三个向量的混合积为零． 例 13 求平行于平面 0  : 2 3 4 0 x y z + + + = 且与球面 2 2 2  + + = : 9 x y z 相切的平面  的 方程． 分析 求平行于坐标面（轴）或平行于某已知平面，且满足另一约束条件的平面方程， 通常设所求平面方程为 Ax By Cz D + + + = 0 ，再由题设条件确定系数 A B C D , , , ．