解法1依题意可设平面x的方程为x+2y+3:+D=0.因为平面x与球面Σ相切， 故球心00,0)到平面π的距离等于球面半径r=3,即 4+2+3+-3 √F+2+30 则D=34.故平面x的方程为 x+2y+3z+3W4=0,或x+2y+3z-34=0. 解法2设平面π与球面的切点为(%，%，)，则球面在该点处的法向量为(y,), 因而π的方程可设为 (x-)+%0-%)+5(e-0)=0, x+%y+202=9, 由于切平面与平面。平行，故 导 又点（氏%）在球面上，即+后+弓=9， 解得， 后后后或气房6后启 故x的方程为 x+2y+3z+3W4=0或x+2y+3:-34=0. 注解法2用到了第七章多元函数微分学在几何上应用的相关知识。 例14求一过原点的平面π，使它与平面。：x-4y+8z-3=0成工角，且垂直于平面 元，：7x+z+3=0. 解由题意可设x的方程为：+y+C=0,其法向量为n=(4,B,C),平面元，的法向 量为%=,4,8，平面云的法向量为%=（，0,1），由题意得 A-4B+8C1 -2 P+(-4y+82.√R+B+C=2 (1) 由nm=0,得7A+C=0,将C=-7A代入(1)式得 55A+4B-2 950+B=2 解得 解法 1 依题意可设平面  的方程为 x y z D + + + = 2 3 0 ．因为平面  与球面  相切， 故球心 (0,0,0) 到平面  的距离等于球面半径 r = 3 ，即 2 2 2 (0,0,0) 2 3 3 1 2 3 x y z D d + + + = = + + ， 则 D = 3 14 ．故平面  的方程为 x y z + + + = 2 3 3 14 0 ,或 x y z + + − = 2 3 3 14 0． 解法 2 设平面  与球面的切点为 0 0 0 ( , , ) x y z ，则球面在该点处的法向量为 0 0 0 ( , , ) x y z ， 因而  的方程可设为 0 0 0 0 0 0 x x x y y y z z z ( ) ( ) ( ) 0 − + − + − = ， 即 0 0 0 x x y y z z  +  +  = 9， 由于切平面与平面  0 平行，故 0 0 0 1 2 3 x y z = = ． 又点 0 0 0 ( , , ) x y z 在球面上，即 2 2 2 0 0 0 x y z + + = 9 ， 解得， 0 0 0 3 6 9 , , 14 14 14 x y z = = = ，或 0 0 0 3 6 9 , , 14 14 14 x y z − − − = = = ， 故  的方程为 x y z + + + = 2 3 3 14 0 或 x y z + + − = 2 3 3 14 0． 注 解法 2 用到了第七章多元函数微分学在几何上应用的相关知识． 例 14 求一过原点的平面  ，使它与平面 0  : x y z − + − = 4 8 3 0 成 4  角，且垂直于平面 1  : 7 3 0 x z + + = ． 解 由题意可设  的方程为 Ax By Cz + + = 0 ，其法向量为 n = ( , , ) A B C ，平面  0 的法向 量为 0 n = − (1, 4,8) ，平面  1 的法向量为 1 n = (7,0,1) ，由题意得 0 0 | | cos 4 | | | |   =  n n n n ， 即 2 2 2 2 2 2 4 8 2 1 ( 4) 8 2 A B C A B C − + = + − +  + + , （1） 由 1 n n = 0 ，得 7 0 A C+ = ，将 C A = −7 代入（1）式得 2 2 55 4 2 9 50 2 A B A B + = + , 解得