134 高等数学重点难点100讲 第42讲曲线的凹马与拐点 、曲线的凹凸区间与拐点的求法 设函数y=f(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内有一阶和二阶导数如果在(ab)内f( >0(<0),则曲线y=f(x)在(a,b)内是凹(凸)的 如果曲线y=f(x)在点(x0,f(x))左、右侧由凹变凸、或由凸变凹,则称(xo,f(x))为 曲线的拐点.此时,若f(x0)存在,则必有f"(x)=0 应该注意的是:函数单调区间的分界点、极值点、最值点、凹凸区间的分界点都是自变量 轴上的点,而拐点则是连续曲线上的点 例1求曲线y=e-的凹凸区间及拐点 解y=-2xe-2,y"=e-(4x2-2)= 由方程y"=0解得实根x1= 2、x2是可能的凹凸区间的分界点 在(-∞,-1)及(+∞)内,y">0,在( )内,y"<0. ′2 2√2 曲线y=c的凸区间为[一,1],凹区间为( 及 ∞),拐点为 及( 2 例2求y=1+x-1的凹凸区间及拐点 解y的定义域为(-∞,+∞) 3√(x.-1)2 9(x-1)√( 没有使y”=0的点,当x=1时,y”不存在.在(一c,1)内,y">0;在(1,+c)内,y <0.所以(1,f(1)=(1,1)是曲线y的拐点.曲线y在(-∞,1]上是凹的,在[1,+∞)上 是凸的. 可以看出:使二阶导数为零的点,或二阶导数不存在的点都有可能是曲线凹凸区间的分 界点.因此,求曲线的拐点,首先是求出全部使"(x)=0及f"(x)不存在的点,然后,利用拐 点判别法的充分条件去鉴别即若(x0)=0或f"(x。)不存在,而f(x)在x。点左右附近 异号(当f(x2)不存在时,函数f(x)在x处必须连续)时,则点(x,f(x))为曲线y=f(x) 的拐点 例3证明:若y=f(x)在x=x0的某邻域内具有三阶连续导函数,且/(x)=0 f(x)≠0,则(x0,f(x)是曲线y=f(x)的拐点 证因fm(x)≠0,为确定起见,不妨设「"(x)>0,又因∫"(x)连续,所以由连续函 数的保号定理知,存在x0的某个邻域(x-δ,x0+δ),在该邻域内fm(x)>0,因此二阶导 函数P(x)在(x。-δ,x。+δ)内单调增加.注意到条件門(x)=0,故在(xo-8,x0)内 (x)<f(x)=0,在(x0,x0+δ)内,P(x)>f"(x)=0,由拐点判别法知,(xo,f(x) 是曲线的拐点