第42讲曲线的凹凸与拐点 135 2 例4求曲线 y=3+p的拐点 3(1+t 兰 3(1+t2) 2t 3(2-1) 2t 4t3 由y=0得t=-1,t=1,注意到t=0时,y不存在 参数t=-1,1,0分别对应曲线上的点(1,-4)、(1,4)、(0,0),而曲线上任一点(x,y) 都有x≥0,所以由参数方程所确定的函数y=f(x)的定义域为[0,+∞),而t=0对应的 点(0,0)是曲线的端点,所以不是拐点, 对于t=士1,我们求三阶导数 31 )’4 (1+3)3≠0,y"x1-1=8 (-1+3)=4≠ 由例3知t=-1所对应的点(1,-4)与t=1所对应的点(1,4)都是曲线的拐点 例5试决定曲线y=ax3+bx2+cx+d中的a、b、c、d,使得该曲线过原点,在点(1 1)处有水平切线,且该点是曲线的拐点 解由题意知,函数y=f(x)满足: f(0)=0; d=0 f(1)=1; a+b+c=l 即 +26+c=0 6a+2b=0. 解方程组得a=1,b=-3,c=3,d=0 例6设P(x)=[g(x)],其中g(x)在(一∞,+∞)内恒为正,g(x)单调增加,且 g3(0)=0,试证:点(0,f(0))是曲线y=f(x)的拐点 证由于g(x)可导,所以f(x)二阶可导,(x)=2g(x)·g(x),由已知条件知: 尸(0)=0. 当x<0时,g'(x)<0,f(x)<0;当x>0时,g'(x)>0,m"(x)>0.所以点(0,f(0)) 是曲线y=f(x)的拐点 例7设/(x)有二阶连续导数且f()=0,mx2=1,则下面结论中,哪一个是 正确的?() (A)f(0)是f(x)的极大值; (B)f(0)是f(x)的极小值; C)(0,f(0)是曲线y=f(x)的拐点; (D)f(0)不是f(x)的极值,(0,f(0)也不是曲线y=f(x)的拐点 解由给条件x=1(0型)知,1m(x)=0 又(x)连续,所以f(0)=0.可见,点(0,f(0)可能是拐点 由回n>0故依保号定理知,存在x=0的一个去心邻域(-a,0)U(O。.在该 邻域内 x