136 高等数学重点难点100讲 又因|x|>0,所以f(x)>0(当x∈(-8,0)U(0,0)),这说明在x=0的两侧附 近,(x)不变号,所以点(O,f(0)不是拐点 同时它又说明:f(x)单调增,当x∈(-8,0)时,f(x)<f(0)=0.当x∈(0,0)时, f(x)>f(0)=0,即f(x)在x=0的左侧取负号,右侧取正号,故f(0)是f(x)的极小 值 故正确结论是B 利用函数图形的凹凸性证明不等式 例8设x>0,y>0,试证:znx+yny≥(x+y)n+y. 证将不等式两边同除以2,变形为nx+yny≥x+2hnx+2显见,左边是函数 f(t)=ln在x,y两点处的平均值,而右边是f()在中点马2处的值这时只需证fP() ≥0即可 求一阶,二阶导数得P()=1+lm,P()=1>0 故t(2≥/(2),得号(x+如y>2h2 即 xlnx+yny≥(x+y)lnx+y 例9试证对任意n个正数x,x,…x,有x,x2“x,≤互十方“十 证考虑函数f(x)=-mx由厂(x)=-1,P(x)=2 0知曲线y=-lnx在 (0,+∞)内是凹的,所以有 ln2x1+x…+x2≤=nx-lnx=…=lnx 即l )≥lnyx…x,或 ≤