§3.2可测函数的收敛性 教学目的使学生对可测函数序列的几乎处处收敛性,依测度收敛性 和几乎一致收敛性及它们的之间蕴涵关系有一个全面的了解. 本节要点本节引进的几种收敛是伴随测度的建立而产生的新的收敛 性.特别是依测度收敛是一种全新的收敛,与熟知的处处收敛有很大的差 异.Egorαv定理和 Riesz定理等揭示了这几种收敛之间的关系. Riesz定 理在几乎处处收敛和较难处理的依测度收敛之间架起了一座桥梁. 设(X,F,)是一测度空间.以下所有的讨论都是在这一测度空间上 进行的.先介绍几乎处处成立的概念 几乎处处成立的性质设P(x)是一个定义在E上与x有关的命题若 存在一个零测度集N,使得当x∈N时P(x)成立(换言之, {x:P(x)不成立}cN),则称P(关于测度)在E上几乎处处成立.记为 P(x)H-ae.,或者P(x)ae 在上面的定义中,若P(x)几乎处处成立,则集{x:P(x)不成立}包含在 个零测度集内.若{x:P(x)不成立}是可测集,则由测度的单调性知道 ({x:P(x)不成立})=0.特别地,当测度空间(x,F,)是完备的时候如 此 例1设给定两个函数∫和g若存在一个零测度集N,使得当x∈N时 f(x)=g(x),则称∫和g几乎处处相等,记为∫=gae. 例2设∫为一广义实值函数.若存在一个零测度集N,使得当xgN时 f|<+∞,则称厂是几乎处处有限的,记为团/<+∞,a 注1设∫是几乎处处有限的可测函数,则存在一零测度集N,使得当 xgN时<+0.令7=nx则是处处有限的可测函数并且f=fae 因此,在讨论几乎处处有限的可测函数的性质时,若在一个零测度集上改 变函数的值不影响该性质,则不妨假定所讨论的函数是处处有限的 注意,f厂几乎处处有限与f≤Mae是不同的概念团 JsMae表示83 §3.2 可测函数的收敛性 教学目的 使学生对可测函数序列的几乎处处收敛性, 依测度收敛性 和几乎一致收敛性及它们的之间蕴涵关系有一个全面的了解. 本节要点 本节引进的几种收敛是伴随测度的建立而产生的新的收敛 性. 特别是依测度收敛是一种全新的收敛, 与熟知的处处收敛有很大的差 异. Egorov 定理和 Riesz 定理等揭示了这几种收敛之间的关系. Riesz 定 理在几乎处处收敛和较难处理的依测度收敛之间架起了一座桥梁. 设(X, F ,µ) 是一测度空间. 以下所有的讨论都是在这一测度空间上 进行的. 先介绍几乎处处成立的概念. 几乎处处成立的性质 设 P(x)是一个定义在 E 上与 x 有关的命题. 若 存在一个零测度集 N, 使得当 x ∉ N 时 P(x) 成 立 ( 换言之 , {x N : P(x)不成立} ⊂ ), 则称 P (关于测度 µ )在 E 上几乎处处成立. 记为 P(x) µ − a.e., 或者 P(x) a.e. 在上面的定义中, 若 P(x)几乎处处成立, 则集{x : P(x)不成立}包含在 一个零测度集内. 若{x : P(x)不成立} 是可测集, 则由测度的单调性知道 µ({x : P(x)不成立}) = 0. 特别地, 当测度空间 (X, F ,µ) 是完备的时候如 此. 例 1 设给定两个函数 f 和 g. 若存在一个零测度集 N, 使得当 x ∉ N 时 f (x) = g(x), 则称 f 和 g 几乎处处相等, 记为 f = g a.e. 例 2 设 f 为一广义实值函数. 若存在一个零测度集 N, 使得当 x ∉ N 时 f < +∞, 则称 f 是几乎处处有限的, 记为 f < +∞, a.e. 注 1 设 f 是几乎处处有限的可测函数, 则存在一零测度集 N, 使得当 x ∉ N 时 f < +∞. 令 . ~ c N f = fI 则 f ~是处处有限的可测函数并且 a.e.. ~ f = f 因此, 在讨论几乎处处有限的可测函数的性质时, 若在一个零测度集上改 变函数的值不影响该性质, 则不妨假定所讨论的函数是处处有限的. 注意, f 几乎处处有限与 f ≤ M a.e.是不同的概念. f ≤ M a.e.表示