存在一个零测度集N,使得∫在N上有界显然≤Mae蕴涵∫几乎处 处有限.但反之不然.例如,设f(x)=(0<x≤1),f(0)=+0.则∫在 (0,1)上关于L测度是几乎处处有限的,但在(0,1)中并不存在一个L零测 度集N和M>0.,使得在(,1)-N上,(x)≤M.初学者常常在这里发生 误解,应当引起注意 可测函数的几种收敛性和定义在区间上的函数列的一致收敛一样, 可以定义在任意集上的函数列的一致收敛性.设E是X的子集 f,fn(n≥1)定义在E上的函数.若对任意E>0,存在N>0,使得当 n≥N时,对一切x∈E成立n(x)-f(x)<6,则称m}在E上一致收敛于 f,记为fn→>fun 定义1设{n}为一可测函数列,∫为一可测函数 (1)若存在一个零测度集N,使得当xN时,有 lim f,(x)=f(x), 则称{n}几乎处处收敛于∫,记为 lim f,=∫ae,或∫n->f (2)若对任给的E>0,总有 im({n-f≥e;)=0 则称{n}依测度收敛于f,记为fn“>f (3)若对任给的>0,存在可测集E8,凵(EB)<,使得{G} 在E上一致收敛于∫,则称{n}几乎一致收敛于,记为 lim f,f aun,或 ∫n->f 容易证明,若将两个ae相等的函数不加区别,则上述几种极限的极限 是唯一的.例如,若∫n->∫,J-→g,则∫=gae.其证明留作习 例3设([O,+∞),M([0,+∞),m)为区间[0,+∞)上的 Lebesgue测度空间 其中M([0,+∞)是[O,+∞)上的L可测集所成的a-代数,m是R上的L测度 在[0,+∞)上的限制令84 存在一个零测度集 N, 使得 f 在 c N 上有界. 显然 f ≤ M a.e.蕴涵 f 几乎处 处有限. 但反之不然. 例如, 设 (0 1), 1 ( ) = < x ≤ x f x f (0) = +∞. 则 f 在 (0, 1)上关于 L 测度是几乎处处有限的, 但在(0, 1)中并不存在一个 L 零测 度集 N 和M > 0, 使得在(0, 1) − N 上, f (x) ≤ M. 初学者常常在这里发生 误解, 应当引起注意. 可测函数的几种收敛性 和定义在区间上的函数列的一致收敛一样, 可以定义在任意集上的函数列的一致收敛性 . 设 E 是 X 的子集 . f , f (n ≥ 1) n 定义在 E 上的函数. 若对任意 ε > 0 , 存在 N > 0, 使得当 n ≥ N 时, 对一切 x ∈ E 成立 f (x) − f (x) < ε , n 则称{ }n f 在 E 上一致收敛于 f , 记为 f f un.. n → 定义 1 设{ }n f 为一可测函数列, f 为一可测函数. (1) 若存在一个零测度集 N, 使得当 x ∉ N 时, 有lim f (x) f (x) n n = →∞ , 则称{ }n f 几乎处处收敛于 f, 记为 f f n n = →∞ lim a.e., 或 f f n →a.e. . (2) 若对任给的ε > 0, 总有 lim ({ − ≥ }) = 0. →+∞ µ f f ε n n 则称{ }n f 依测度收敛于 f, 记为 f f . n →µ (3) 若对任给的δ > 0 , 存在可测集 Eδ , µ(Eδ ) < δ , 使得{ }n f 在 c Eδ上一致收敛于 f, 则称{ }n f 几乎一致收敛于 f, 记为 n n lim = f f a.un., 或 f f n a..un.  → . 容易证明, 若将两个 a.e.相等的函数不加区别, 则上述几种极限的极限 是唯一的. 例如, 若 , a.e. f f n → f n →g a.e. , 则 f = g a.e.. 其证明留作习 题. 例 3 设([0,+∞), M ([0,+∞)), m) 为区间[0, + ∞) 上的 Lebesgue 测度空间. 其中M ([0,+∞))是[0,+ ∞)上的 L可测集所成的σ -代数, m是 1 R 上的 L测度 在[0, + ∞) 上的限制. 令