x)n≥1 则对任意x>0,fn(x)→0n→∞).当x=0时fn(x)不收敛于0.但 m({0)=0,因此在[0,+∞)上f0.由于对E=1 m(|2)=m(0.um+∞) =+0-4>0,(n→+∞) 因此{n}不依测度收敛于0.这个例子表明在一般情况下,几乎处处收敛不 定能推出依测度收敛 例4设([O,1,M([0,1,m)是[O,1]上的 Lebesgue测度空间.令 fn(x)=x",n≥1 则对任意δ>0,{G}在[0,1-6]上一致收敛于0.由于m(1-8,1)=6可以 任意小,因此fn—>0.又显然fn>0 例5设([0,1,M([O,D,m)是[O,1上的 Lebesgue测度空间.令 A2=[4-1,2,i=1,…,n,n≥1 将{}先按照n后按照i的顺序重新编号记为{En}显然m(En)→0.令 fn(x)=l(x),n≥1 f(x)=0 对任意E>0,由于 m({-1|≥)=m(En)→0,n→ 故{〃n}依测度收敛于∫.但{n}在⑩,1上处处不收敛.事实上,对任意 x∈[O,1],必有无穷多个E包含x0,也有无穷多个En不包含x故有无 穷多个n使得f(x)=1,又有无穷多个n使得fn(x0)=0.因此{fn}在x不 收敛.这个例子表明依测度收敛不能推出几乎处处收敛.例3和例4表明, 依测度收敛和几乎处处收敛所包含的信息可能相差很大 几种收敛性之间的关系为叙述简单计,以下我们设所讨论的函数都 是实值可测函数.但以下结果对几乎处处有限的可测函数也是成立的由(见 注1的说明) 引理2设山(X)<+∞.若∫n-)∫.则对任意E>0有85 ( ) 1 ( ), 1. , ) 1 ( f x = − I x n ≥ n n n 则对任意 x > 0, ). f n (x) → 0(n → ∞ 当 x = 0 时 f (x) n 不收敛于 0. 但 m({0}) = 0, 因此在[0, + ∞) 上 0. →a.e. n f 由于对 , 2 1 ε = 0, ( ). ] [ , )) 1 }) ([0, 2 1 ({ = +∞ →/ → +∞ ≥ = ∪ +∞ n n n m f n m 因此{ }n f 不依测度收敛于0. 这个例子表明在一般情况下, 几乎处处收敛不 一定能推出依测度收敛. 例 4 设([0, 1], M ([0,1]), m)是[0, 1]上的 Lebesgue 测度空间. 令 f (x) = x , n ≥ 1. n n 则对任意δ > 0 , } { n f 在[0, 1− δ ] 上一致收敛于0 .由于m((1−δ , 1]) = δ 可以 任意小, 因此 0 f n a..un.  → . 又显然 0. →a.e. n f 例 5 设([0, 1], M ([0,1]), m)是[0, 1]上的 Lebesgue 测度空间. 令 , ], 1, , , 1. 1 [ = ≥ − = i n n n i n i Ai n L 将{ } i An 先按照 n 后按照 i 的顺序重新编号记为{ } En . 显然 ( ) → 0. m En 令 f (x) I (x) n En = , n ≥ 1, f (x) = 0. 对任意ε > 0, 由于 m({ f − f ≥ }) = m(E ) → 0, n → ∞. n n ε 故{ }n f 依测度收敛于 f. 但{ }n f 在[0, 1] 上处处不收敛. 事实上, 对任意 [0, 1] x0 ∈ , 必有无穷多个 En 包含 0 x , 也有无穷多个 En 不包含 0 x . 故有无 穷多个n使得 ( ) 1, f n x0 = 又有无穷多个n使得 ( ) 0. f n x0 = 因此{ }n f 在 0 x 不 收敛. 这个例子表明依测度收敛不能推出几乎处处收敛. 例 3 和例 4 表明, 依测度收敛和几乎处处收敛所包含的信息可能相差很大. 几种收敛性之间的关系 为叙述简单计, 以下我们设所讨论的函数都 是实值可测函数. 但以下结果对几乎处处有限的可测函数也是成立的由(见 注 1 的说明). 引理 2 设µ(X ) < +∞. 若 . a.e. f f n → 则对任意ε > 0有