im(U41-f≥c})=0 证明设E>0是一给定的正数.任取x∈X,若对任意n≥1,存在 i≥n,使得(x)-f(x)≥E.则∫(x)不收敛于f(x).这表明 nUM-f≥}c{x:f(x)→→f(x) 由于∫n—°>∫,因此由上式知道 ∩U-≥;|=0 由于(X)<+∞,由测度的上连续性,我们有 m心U-26)=nU-八2e=0 容易证明,若fn-∫,则f->f(其证明留作习题)下面的 定理表明当(X)<+∞时,其逆也成立 定理3(叶戈洛夫)若(X)<+∞,则∫n-">∫蕴涵f-∫ 证明设山(X)<+∞,f-f.由引理2,对任意E>0,有 1f-/≥6} 于是对任意的δ>0和自然数k≥1,存在自然数n使得 U-12- 令 Es=UUi,-fl k=l i=nk 由测度的次可数可加性我们有 (E)s∑心U-12|=∑= 往证在E上,{fn}一致收敛于∫.事实上,由 De morgan公式得86 lim ( { − ≥ }) = 0. ∞ = →∞ U i n i n µ f f ε 证明 设 ε > 0 是一给定的正数. 任取 x ∈ X , 若对任意 n ≥ 1, 存在 i ≥ n, 使得 f (x) − f (x) ≥ ε. i 则 f (x) f (x) n 不收敛于 . 这表明 IU ∞ = ∞ = − ≥ 1 { } n n i i f f ε {x : f (x) / f (x)}. ⊂ n → 由于 , a.e. f f n → 因此由上式知道 { } 0. 1 =        − ≥ ∞ = ∞ = IU n n i i µ f f ε 由于µ(X ) < +∞, 由测度的上连续性, 我们有 lim { } { } 0 1 =        = − ≥         − ≥ ∞ = ∞ = ∞ = →∞ U IU n n i i i n i n µ f f ε µ f f ε . ■ 容易证明, 若 , a..un. f f n  → 则 f f n →a.e. (其证明留作习题). 下面的 定理表明当µ(X ) < +∞时, 其逆也成立. 定理 3 (叶戈洛夫)若µ(X ) < +∞, 则 f f n →a.e. 蕴涵 . a..un. f f n  → 证明 设µ(X ) < +∞, . a.e. f f n → 由引理 2 , 对任意ε > 0, 有 lim { } = 0.         − ≥ ∞ = →∞ U i n i n µ f f ε 于是对任意的δ > 0 和自然数k ≥ 1, 存在自然数nk 使得 . 2 }1 { k i n i k k f f δ µ <        − ≥ ∞ = U 令 }. 1 { 1 UU ∞ = ∞ = = − ≥ k n i i k k E f f δ 由测度的次可数可加性我们有 . 2 }1 ( ) { 1 1 δ δ µ δ µ ≤ =         ≤ ∑ − ≥ ∑ ∞ = ∞ = ∞ = k k k i n i k k E U f f 往证在 c Eδ上, } { n f 一致收敛于 f. 事实上, 由 De Morgan 公式得