∩∩4-f rk<li 对任意8>0,取k足够大使得k<E则由(1)式知道,当≥n1时对一切 x∈ I(x)-f(x<l<E 即在E上{n}一致收敛于∫这就证明了fn—2>f.定理证毕 注2在叶戈洛夫定理中,条件μ(X)<+∞不能去掉.例如,若令 fn(x)=1+m(x),n21.则{}在R上处处收敛于0.但容易知道{/n}不 是几乎一致收敛于0 定理4若山(X)<+∞,则∫n-8>∫蕴涵fn—>∫ 证明设(X)<+∞,fn-)∫.由引理2,对任意E>0有 4(U=a 由测度的单调性立即得到 limu(-(2a))<lim U(r-f 0 即fn-“>f 本节例3表明,在定理4中,条件(X)<+∞不能去掉. 定理5( Riesz)若∫n->f,则存在n}的子列{n},使得 f.-ac.>f 证明设∫n—>∫.对任意E>0和d>0,存在N≥1,使得当n≥N 时,有 ({fn-f|2E})<d 于是对任意自然数k≥1,存在自然数n,使得 41-2)<87 }, 1. 1 { }1 { 1 ⊂ − < ≥ = − < ∞ = ∞ = ∞ = k k f f k E f f k k i n i k n i i c I δ II (1) 对任意ε > 0 , 取 k 足够大使得 . 1 < ε k 则由(1)式知道, 当 nk i ≥ 时对一切 c x ∈ Eδ , 有 . 1 ( ) − ( ) < < ε k f x f x i 即在 c Eδ上{ }n f 一致收敛于 f. 这就证明了 f f n a..un.  → . 定理证毕. 注 2 在叶戈洛夫定理中, 条件 µ(X ) < +∞ 不能去掉. 例如, 若令 ( ) ( ), [ , ) f x I x n = n +∞ n ≥ 1. 则{ }n f 在 1 R 上处处收敛于 0. 但容易知道{ }n f 不 是几乎一致收敛于 0. 定理 4 若µ(X ) < +∞, 则 f f n →a.e. 蕴涵 f f . n →µ 证明 设µ(X ) < +∞, . a.e. f f n → . 由引理 2 , 对任意ε > 0有 lim { } = 0.         − ≥ ∞ = →∞ U i n i n µ f f ε 由测度的单调性立即得到 ( ) − ≥ ≤ →∞ lim µ { f f ε} n n lim { } = 0.         − ≥ ∞ = →∞ U i n i n µ f f ε 即 f f . n →µ ■ 本节例 3 表明, 在定理 4 中, 条件µ(X ) < +∞不能去掉. 定 理 5 (Riesz) 若 f f , n →µ 则存在 { }n f 的子列 { } nk f , 使 得 . a.e. f f k n → 证明 设 f f . n →µ 对任意ε > 0和δ > 0 , 存在 N ≥ 1 , 使得当 n ≥ N 时, 有 µ({ f n − f ≥ ε}) < δ . 于是对任意自然数k ≥ 1, 存在自然数nk , 使得 . 2 1 }) 1 ({ n k k f f k µ − ≥ < (2)