我们可适当选取n使得n<nk4,k=1,2,…,往证fn—5>f.令 E=∩4m-小 2 对任意x∈E,当k≥i时, 这表明{n}在E上收敛于令E=UE.则{n}在E上收敛于往证 (E)=0.由 De morgan公式,我们有 E=∩E=∩UA- 利用(2)容易得到以(E)≤1.因此由测度的上连续性并且利用(2),我们有 (E)=lim山 ≤lm∑0-2=k) lim 这就证明了f-→)f 定理6设(1)<+∞.则f+f当且仅当n}的任一子列{m}都 存在其子列{},使得-°)f(k→) 证明必要性(此时不需设(X)<+∞)设fn—>∫.显然{n}的任 子列{}也依测度收敛于∫由定理5,存在m}的子列{f},使得 ∫n-°→f(k→∞ 充分性.用反证法若{〃n}不依测度收敛于∫,则存在E>0,使得 H(n-26}-→0.于是存在6>0和{m}的子列{fn},使得 (1n-26)26 由此知{fn}的任何子列{}都不能依测度收敛于∫由定理4,{fn}也不88 我们可适当选取nk 使得nk < nk+1 , k = 1, 2,L. 往证 . a.e. f f k n → 令 I }, 1, 2,L 1 = { − < = ∞ = i k E f f k i i nk . 对任意 Ei x ∈ , 当k ≥ i 时, . 1 ( ) ( ) k f x f x nk − < 这表明{ } nk f 在 Ei 上收敛于 f. 令 . 1 U ∞ = = i E Ei 则{ } nk f 在 E 上收敛于 f. 往证 ( ) = 0. c µ E 由 De Morgan 公式, 我们有 }. 1 { 1 1 I IU ∞ = ∞ = ∞ = = = − ≥ i ii k n c i c k E E f f k 利用(2)容易得到 ( ) 1. 1 ≤ c µ E 因此由测度的上连续性并且利用(2), 我们有 0. 2 1 lim }) 1 lim ({ }1 ( ) lim { ≤ = ≤ − ≥         = − ≥ ∑ ∑ ∞ = →∞ ∞ = →∞ ∞ = →∞ k i k i k i n i k i n i c k f f k E f f k k µ µ µ U 这就证明了 . a.e. f f k n → ■ 定理 6 设µ(X ) < +∞. 则 f f n →µ 当且仅当{ }n f 的任一子列{ } nk f 都 存在其子列{ } nk f ′ , 使得 ( ). a.e. → ′ → ∞ ′ f f k k n 证明 必要性(此时不需设 µ(X ) < +∞). 设 f f . n →µ 显然{ }n f 的任一 子列{ } nk f 也依测度收敛于 f. 由定理 5 , 存在{ } nk f 的子列{ } nk f ′ , 使得 ( ). a.e. → ′ → ∞ ′ f f k k n 充分性. 用反证法. 若{ }n f 不依测度收敛于 f, 则存在 ε > 0, 使得 µ({ f − f ≥ ε}→/ 0. n 于是存在δ > 0 和{ }n f 的子列{ } nk f , 使得 µ({ f − f ≥ ε}) ≥ δ . nk 由此知{ } nk f 的任何子列{ } nk f ′ 都不能依测度收敛于 f. 由定理 4, { } nk f ′ 也不