第五章向量分析 5,设函数满足 x9+y9+:9=m/(xy,=).n为正整数 曲面S1:∫(x,y,x)=0,与平面S2ax+by+c=d,所围 区域为g,a9取外法线作正向,计算: 盯x+地A+A 解:设F=x+y+zk=F =5JF4=F4+JF示 在曲面S上 F五n=F.f+”+/k xx+yf”+/ =0 V)+)+())+()+( 在平面S2上 b d a2+b2+c2√a2+b2+c2√a2+b2+c ∫F示(=F示△+』F 3a2+b2 这里,H是原点到平面S2的距离,是曲面S在平面S2上 切下图形的面积.另一方面,由 Gauss公式有 √^女+yddx+Ad= I rrr/away,az 3a+今+ah在dh 即所围体积:|2=1HS 第五章向量分析第五章 向量分析 第五章 向量分析 5, 设函数满足： nf (x y z) z f z y f y x f x = , ,   +   +   , n 为正整数, 曲面 1 S : f (x, y, x) = 0, 与平面 S2 :ax + by + cz = d , 所围 区域为  ,   取外法线作正向,计算：    I = xdy  dz + ydz  dx + zdx  dy 3 1 . 解： 设 F xi yj zk r      = + + =         =  =  +       1 2 0 0 0 3 1 3 1 S S I F n dS F n dS F n dS       在曲面 1 S 上: ( ) ( ) ( ) 2 2 2 0 x y z x y z f f f f i f j f k F n r  +  +   +  +   =        = ( ) ( ) ( ) 0 2 2 2 =  +  +   +  +  x y z x y z f f f xf yf zf 在平面 2 S 上: = 2 2 2 0 a b c ai bj c k F n r z + + + +  =        = 2 2 2 2 2 2 a b c d a b c ax by cz + + = + + + +         =  =  +       1 2 0 0 0 3 1 3 1 S S I F n dS F n dS F n dS       = =  + + + 2 2 2 2 3 0 S dS a b c d = H  S 3 1 这里， H 是原点到平面 2 S 的距离，是曲面 1 S 在平面 2 S 上 切下图形的面积. 另一方面，由 Gauss 公式有：    I = xdy  dz + ydz  dx + zdx  dy 3 1 =   = =          +   +       dxdydz dxdydz z z y y x x 3 1 , 即所围体积:  = H  S 3 1