7.区间和邻域: 二.几个重要不等式: L.绝对值不等式定义|a=max{-a,a} 2.三角不等式:采用[]P2的证明(Th121.)利用式-|a‖bb≤a‖b| 有|a2-2|a‖b|+|b|2≤a2+2ab+b2≤|a+2|ab|+|b2,→ (a|-|b1)2≤(a+b)2≤(a|+1b1)2,→|a|-|b|-a+b|s|a|+|bl 3.其他不等式 )a2+b2≥2abl|sinx|sl sinxslx (2)均值不等式:对Va1,a2,…,an∈R+,记 a1+a,+…+a M(a1)= (算术平均值) G(a1)={a12…an= (几何平均值) H(a1) (调和平均值) 1111 有平均值不等式 H(a1)≤G(a1)≤M(a1),等号当且仅当a1=a2=…=an时成立 (3) Bernoulli不等式(在中学已用数学归纳法证明过) vx>-1,有不等式(1+x)”≥1+nx 当x>-1且x≠0,n∈N且n≥2时,有严格不等式(1+x)”>1+nx (现采用《数学教学研究》1991.№1马德尧文“均值不等式妙用两则”中的证明)7. 区间和邻域: 二. 几个重要不等式: 1. 绝对值不等式: 定义 a {−= aa }. , max 2. 三角不等式 : 采用[1] P 21 的证明 ( Th1.2.1. ): 利用式 − ≤≤ baabba |||||||| , 有 , 2 22 2 2 2 ++≤++≤+− bbaabababbaa ||||||2|| 2||||||2|| ⇒ () |||| ( 2 ba ≤− 2 2 +≤+ baba ) |||| () ， ⇒ +≤+≤− bababa |||| || |||| . 3. 其他不等式: ⑴ ,2 22 ≥+ abba x ≤ .1 sin ≤ xx . sin ⑵ 均值不等式: 对∀ 21 " aaa n ∈ R+ ,,,, 记 , 1 )( 1 21 ∑= = +++ = n i i n i a n n aaa aM " (算术平均值) )( , 1 1 21 n n i i n i n aaaaaG ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = = ∏= " (几何平均值) . 111 1 111 )( 21 1 1 ∑∑= = == +++ = n i i n n i i i a n aaa an n aH " (调和平均值) 有平均值不等式: ),( )( )( i ≤ i ≤ aMaGaH i 等号当且仅当 = 21 = " = aaa n 时成立. ⑶ Bernoulli 不等式: ( 在中学已用数学归纳法证明过 ) x −>∀ ,1 有不等式 +≥+ nnxx ∈ N. ,1)1( n 当 x −> 1 且 x ≠ 0 , n∈N 且 时 n ≥ 2 , 有严格不等式 nxx .1)1( n +>+ (现采用《数学教学研究》1991. № 1 马德尧文 “均值不等式妙用两则”中的证明) 5