§1变分法简介 作为数学的一个分支,变分法的诞生,是现实世界许多现象不断探索的结果,人们可以追寻 到这样一个轨迹 约翰·伯努利( Johann Bernoulli,1667-1748)1696年向全欧洲数学家挑战,提出 个难题:“设在垂直平面内有任意两点,一个质点受地心引力的作用,自较高点下滑至较 低点,不计摩擦,问沿着什么曲线下滑,时间最短?” 这就是著名的“最速降线”问题( The Brachistochrone Problen)。它的难处在于和普通 的极大极小值求法不同,它是要求出一个未知函数(曲线),来满足所给的条件。这问题的 新颖和别出心裁引起了很大兴趣,罗比塔( Guillaume francois antonie de i' Hospital 1661-1704)、雅可比·伯努利( Jacob Bernoulli1654-1705)、莱布尼茨( Gottfried Wilhelm Leibniz,1646-1716)和牛顿( Isaac Newton642-1727)都得到了解答。约翰的解法比较 漂亮,而雅可布的解法虽然麻烦与费劲,却更为一般化。后来欧拉( Euler leonhard,107~ 1783)和拉格朗日( Lagrange, Joseph louis,1736-1813)发明了这一类问题的普遍解法 从而确立了数学的一个新分支一一变分学 有趣的是,在1690年约翰·伯努利的哥哥雅可比·伯努利曾提出著名的悬链线问题 ( The Hanging Chain Problem)向数学界征求答案,即,固定项链的两端,在重力场中让它自 然垂下,问项链的曲线方程是什么。在大自然中,除了悬垂的项链外,我們还可以观察到吊 桥上方的悬垂钢索,挂着水珠的蜘蛛网,以及两根电线杆之间所架设的电线,这些都是悬链 线( catenary) 伽利略( Galileo,1564~1643)比贝努利更早注意到悬链线,他猜测悬链线是抛物线 从外表看的确象,但实际上不是。惠更斯( Huygens,,1629~1695)在1646年(当时17岁), 经由物理的论证,得知伽利略的猜测不对,但那时,他也求不出答案。到1691年,也就是 雅可比·伯努利提出悬链线问题的第二年,莱布尼兹、惠更斯(以62岁)与约翰·伯努利 各自得到了正确答案,所用方法是诞生不久的微积分,具体说是把问题转化为求解一个二阶 常微分方程 dy =yo y(0)=0 解此方程并适当选取参数,得 y=-(e+e 20 即为悬链线 悬链线问题本身和变分法并没有关系,然而这和最速降线问题一样都是贝努利兄弟间的 相互争强好胜、不断争吵的导火索,虽然雅可比·贝努利在解决悬链线问题时略占下风,但 他随后所证明的“悬挂于两个固定点之间的同一条项链,在所有可能的形状中,以悬链线的 重心最低,具有最小势能”,算是扳回了一局,俩兄弟扯平了!之所以提到悬链线问题,有 两方面考虑,其一,这是有关数学史上著名的贝努利家族内的一个趣闻,而这是一个在变分 法乃至整个数学物理领域有着巨大贡献的家族,其二,有关悬链线的得几个结论,可以用变1 §1 变分法简介 作为数学的一个分支，变分法的诞生，是现实世界许多现象不断探索的结果，人们可以追寻 到这样一个轨迹： 约翰·伯努利（Johann Bernoulli，1667－1748）1696 年向全欧洲数学家挑战，提出 一个难题：“设在垂直平面内有任意两点，一个质点受地心引力的作用，自较高点下滑至较 低点，不计摩擦，问沿着什么曲线下滑，时间最短？” 这就是著名的“最速降线”问题（The Brachistochrone Problem）。它的难处在于和普通 的极大极小值求法不同，它是要求出一个未知函数（曲线），来满足所给的条件。这问题的 新颖和别出心裁引起了很大兴趣，罗比塔（Guillaume Francois Antonie de l'Hospital 1661-1704）、雅可比·伯努利（Jacob Bernoulli 1654-1705）、莱布尼茨（Gottfried Wilhelm Leibniz,1646-1716）和牛顿（Isaac Newton1642—1727）都得到了解答。约翰的解法比较 漂亮，而雅可布的解法虽然麻烦与费劲，却更为一般化。后来欧拉（Euler Lonhard，1707～ 1783）和拉格朗日(Lagrange, Joseph Louis，1736-1813)发明了这一类问题的普遍解法， 从而确立了数学的一个新分支——变分学。 有趣的是，在 1690 年约翰·伯努利的哥哥雅可比·伯努利曾提出著名的悬链线问题 (The Hanging Chain Problem)向数学界征求答案，即，固定项链的两端，在重力场中让它自 然垂下，问项链的曲线方程是什么。在大自然中，除了悬垂的项链外，我們还可以观察到吊 桥上方的悬垂钢索，挂着水珠的蜘蛛网，以及两根电线杆之间所架设的电线，这些都是悬链 线（catenary）。 伽利略（Galileo, 1564～1643）比贝努利更早注意到悬链线，他猜测悬链线是抛物线， 从外表看的确象，但实际上不是。惠更斯（Huygens, 1629～1695）在 1646 年（当时 17 岁）， 经由物理的论证，得知伽利略的猜测不对，但那时，他也求不出答案。到 1691 年，也就是 雅可比·伯努利提出悬链线问题的第二年，莱布尼兹、惠更斯（以 62 岁）与约翰·伯努利 各自得到了正确答案，所用方法是诞生不久的微积分，具体说是把问题转化为求解一个二阶 常微分方程 解此方程并适当选取参数，得 ( ) 2 1 ax ax e e a y − = + （1） 即为悬链线。 悬链线问题本身和变分法并没有关系，然而这和最速降线问题一样都是贝努利兄弟间的 相互争强好胜、不断争吵的导火索，虽然雅可比·贝努利在解决悬链线问题时略占下风，但 他随后所证明的“悬挂于两个固定点之间的同一条项链，在所有可能的形状中，以悬链线的 重心最低，具有最小势能”，算是扳回了一局，俩兄弟扯平了！之所以提到悬链线问题，有 两方面考虑，其一，这是有关数学史上著名的贝努利家族内的一个趣闻，而这是一个在变分 法乃至整个数学物理领域有着巨大贡献的家族，其二，有关悬链线的得几个结论，可以用变         = = = + (0) 0 (0) 1 ( ) 0 2 2 2 y y y dx dy a dx d y