分法来证明! 现实中很多现象可以表达为泛函极小问题,我们称之为变分问题。求解方法通常有两种 古典变分法和最优控制论。我们这儿要介绍的基本属于古典变分法的范畴。 1.1变分法的基本概念 1.1.1泛函的概念 设S为一函数集合,若对于每一个函数x(1)∈S有一个实数J与之对应,则称J是定义 在S上的泛函,记作J(x(1)。S称为J的容许函数集 例如,在[x0,x1]上光滑曲线y(x)的长度可定义为 1+ydx 考虑几个具体曲线,取x0=0,x1 若y(x)=x,则 ((x)=(x)=√+lk=√2 若y(x)为悬链线,则 2 2 对应C[x,x1]中不同的函数y(x),有不同曲线长度值J,即J依赖于yx),是定义在 函数集合C[x0,x1]上的一个泛函,此时我们可以写成 J=J((x)) 我们称如下形式的泛函为最简泛函 J(x(t)=F(t,x(o),i(t)dt 被积函数F包含自变量1,未知函数x(t)及导数x(t)。上述曲线长度泛函即为一最简泛函 1.1.2泛函极值问题 考虑上述曲线长度泛函,我们可以提出下面问题: 在所有连接定点A(x0,y0)和B(x1,y1)的平面曲线中,试求长度最小的曲线 即,求y(x)∈u(x)y(x)∈C"[x,x1y(x0)=ya,y(x)=y1},使 取最小值。此即为泛函极值问题的一个例子。以极小值为例,一般的泛函极值问题可表述为, 称泛函J/(x(1)在x0(1)∈S取得极小值,如果对于任意一个与x0(1)接近的x()∈S 都有J(x(m)≥J(x0(D)。所谓接近,可以用距离d(x(1),x0(1)<E来度量,而距离可以定 义为 d(x(1),x0(m))=max{x(t)-x0(t),x(t)-x0()}2 分法来证明！ 现实中很多现象可以表达为泛函极小问题，我们称之为变分问题。求解方法通常有两种： 古典变分法和最优控制论。我们这儿要介绍的基本属于古典变分法的范畴。 1.1 变分法的基本概念 1.1.1 泛函的概念 设 S 为一函数集合，若对于每一个函数 x(t) S 有一个实数 J 与之对应，则称 J 是定义 在 S 上的泛函，记作 J (x(t)) 。 S 称为 J 的容许函数集。 例如，在 [ , ] 0 1 x x 上光滑曲线 y(x)的长度可定义为  = +  1 0 2 1 x x J y dx （2） 考虑几个具体曲线，取 x0 = 0, x1 =1， 若 y(x) = x ，则  = = + = 1 0 J (y(x)) J (x) 1 1dx 2 若 y(x)为悬链线，则   − − − − − = + = − = + + 1 0 1 0 2 1 4 2 2 ( ) ) 1 2 ( e e dx e e dx e e e e J x x x x x x 对应 [ , ] 0 1 1 C x x 中不同的函数 y(x)，有不同曲线长度值 J，即 J 依赖于 y(x)，是定义在 函数集合 [ , ] 0 1 1 C x x 上的一个泛函，此时我们可以写成 J = J ( y(x)) 我们称如下形式的泛函为最简泛函  = f t t J x t F t x t x t dt 0 ( ( )) ( , ( ), ( )) （3） 被积函数 F 包含自变量 t ，未知函数 x (t)及导数 x  (t)。上述曲线长度泛函即为一最简泛函。 1.1.2 泛函极值问题 考虑上述曲线长度泛函，我们可以提出下面问题： 在所有连接定点 ( , ) ( , ) 0 0 1 1 A x y 和B x y 的平面曲线中，试求长度最小的曲线。 即，求  0 1 0 0 1 1  1 y(x) y(x) y(x)C [x , x ], y(x ) = y , y(x ) = y ，使  = +  1 0 2 ( ( )) 1 x x J y x y dx 取最小值。此即为泛函极值问题的一个例子。以极小值为例，一般的泛函极值问题可表述为， 称泛函 J (x(t)) 在 x0 (t)S 取得极小值，如果对于任意一个与 ( ) 0 x t 接近的 x(t) S ， 都有 ( ( )) ( ( )) 0 J x t  J x t 。所谓接近，可以用距离 ( ( ), ( ))   0 d x t x t 来度量，而距离可以定 义为 ( ( ), ( )) max{| ( ) ( ) |,| ( ) ( ) |} 0 0 0 0 d x t x t x t x t x t x t f t t t = −  −   