泛函的极大值可以类似地定义。其中x0(1)称为泛函的极值函数或极值曲线 1.1.3泛函的变分 如同函数的微分是增量的线性主部一样,泛函的变分是泛函增量的线性主部。作为泛函 的自变量,函数x(1)在x0(1)的增量记为 x(D)=x(1)-x0(1) 也称函数的变分。由它引起的泛函的增量记作 △=J(x(1)+ax()-J(x0(D) 如果M/可以表为 △=L(x0(1)ax()+r(x(1),ai(1) 其中L为x的线性项,而r是ax的高阶项,则称L为泛函在x0()的变分,记作 a/(x0(1)。用变动的x(1)代替x0(1),就有&/(x(t)。 泛函变分的一个重要形式是它可以表为对参数a的导数: a(x(o) (x()+aa() (4) 这是因为当变分存在时,增量 △=J(x(1)+aai)-J(x(1))=L(x(1),aox)+r(x(),aax) 根据L和r的性质有 L(x(o), ad)=aL(x(n), ax) lim r(x(O),aax)- lim r(x(),aao=o a→0 所以 J(x+aar) J(x+aa)-j(x) a=0 L(, aa)+r(x, aar) L(, ax=a(x) 1.2泛函极值的相关结论 12.1泛函极值的变分表示 利用变分的表达式(4),可以得到有关泛函极值的重要结论。 泛函极值的变分表示:若J(x(m)在x(1)达到极值(极大或极小),则 a(x0())=0 (5) 证明:对任意给定的a,J(x0+a)是变量a的函数,该函数在a=0处达到极值。根 据函数极值的必要条件知3 泛函的极大值可以类似地定义。其中 ( ) 0 x t 称为泛函的极值函数或极值曲线。 1.1.3 泛函的变分 如同函数的微分是增量的线性主部一样，泛函的变分是泛函增量的线性主部。作为泛函 的自变量，函数 x(t) 在 ( ) 0 x t 的增量记为 ( ) ( ) ( ) 0  x t = x t − x t 也称函数的变分。由它引起的泛函的增量记作 ( ( ) ( )) ( ( )) 0 0 J = J x t +x t − J x t 如果 J 可以表为 ( ( ), ( )) ( ( ), ( )) 0 0 J = L x t x t + r x t x t 其中 L 为 x 的线性项，而 r 是 x 的高阶项，则称 L 为泛函在 ( ) 0 x t 的变分，记作 ( ( )) 0 J x t 。用变动的 x(t) 代替 ( ) 0 x t ，就有 J (x(t)) 。 泛函变分的一个重要形式是它可以表为对参数  的导数： 0 ( ( )) ( ( ) ( )) + =   =     J x t J x t x t （4） 这是因为当变分存在时，增量 J = J (x(t) + x) − J (x(t)) = L(x(t), x) + r(x(t), x) 根据 L 和 r 的性质有 L(x(t),x) =L(x(t),x) 0 ( ( ), ) lim ( ( ), ) lim 0 0 = = → → x x r x t x r x t x           所以         ( ) ( ) ( ) lim 0 0 J x x J x J x x + − + =   → = ( , ) ( ) ( , ) ( , ) lim 0 L x x J x L x x r x x         = = + = → 1.2 泛函极值的相关结论 1.2.1 泛函极值的变分表示 利用变分的表达式（4），可以得到有关泛函极值的重要结论。 泛函极值的变分表示：若 J (x(t)) 在 ( ) 0 x t 达到极值（极大或极小），则 J (x0 (t)) = 0 （5） 证明：对任意给定的 x ， ( ) 0 J x +x 是变量  的函数，该函数在  = 0 处达到极值。根 据函数极值的必要条件知