aa(o+ac 再由(4)式,便可得到(5)式。 变分法的基本引理:p(x)∈C[x1,x2],Vm(x)∈C[x12x2],m(x1)=7(x2)=0,有 P(x)n(x)dx =0 则(x)=0,x∈[x,x2] 证明略。 12.2泛函极值的必要条件 考虑最简泛函(3),其中F具有二阶连续偏导数,容许函数类S取为满足端点条件为 固定端点(6)的二阶可微函数 x(t X, x (t1)=x (6) 泛函极值的必要条件:设泛函(3)在xt)∈S取得极值,则x(t)满足欧拉方程 F-F=0 (7) dt 欧拉方程推导:首先计算(3)式的变分: d=(x)+a()a=0 F(1,x(1)+aa(1)x(1)+aa(O)a=0dt [F(, x, x)ax+F(,x, x)ar]dt 对上式右端第二项做分布积分,并利用a(t0)=ax(t1r)=0,有 F(, x, x)ardt F(, x, x)adt dt 所以 f[.-边1 利用泛函极值的变分表示,得 IFr- FAdt=0 因为ax的任意性,及x(t)=x()=0,由基本引理,即得(7) (7)式也可写成 F.-F.-Fx=0 (8) 通常这是关于x(t)的二阶微分方程,通解中的任意常数由端点条件(6)确定 1.2.3几种特殊形式最简泛函的欧拉方程 i)F不依赖于x,即F=F(t,x)4 ( 0 + ) 0 = 0     =  J x x 再由（4）式，便可得到（5）式。 变分法的基本引理： ( ) [ , ] 1 2  x C x x ， ( ) [ , ] 1 2 1  x C x x ，(x1 ) =(x2 ) = 0 ，有   2 1 ( ) ( ) 0 x x  x  x dx ， 则 ( ) 0, [ , ] 1 2  x  x x x 。 证明略。 1.2.2 泛函极值的必要条件 考虑最简泛函（3），其中 F 具有二阶连续偏导数，容许函数类 S 取为满足端点条件为 固定端点（6）的二阶可微函数。 0 0 x(t ) = x ， f f x(t ) = x （6） 泛函极值的必要条件：设泛函（3）在 x(t)∈S 取得极值，则 x(t)满足欧拉方程 x − Fx = 0 dt d F  （7） 欧拉方程推导：首先计算（3）式的变分： 0 ( ( ) ( )) + =   =    J J x t x t  + + =   = f t t F t x t x t x t x t dt 0 0 ( , ( ) ( ), ( ) ( ))          = + f t t Fx t x x x Fx t x x x dt 0 [ ( , , ) ( , , ) ]    对上式右端第二项做分布积分，并利用 x(t 0 ) = x(t f ) = 0 ，有   = − f f t t x t t x F t x x xdt dt d F t x x xdt 0 0  ( , , )  ( , , ) ， 所以  = − f t t x x F xdt dt d J F 0  [  ] 利用泛函极值的变分表示，得 [ ] 0 0 − =  f t t x x F xdt dt d F   因为 x 的任意性，及 x(t 0 ) = x(t f ) = 0 ，由基本引理，即得（7）。 （7）式也可写成 F − F − F x − F x = 0 x tx xx xx      （8） 通常这是关于 x(t)的二阶微分方程，通解中的任意常数由端点条件（6）确定。 1.2.3几种特殊形式最简泛函的欧拉方程 (i) F 不依赖于 x  ，即 F = F(t, x)