这时F2≡0,欧拉方程为F(t,x)=0,这个方程以隐函数形式给出x(1),但它一般不 满足边界条件,因此,变分问题无解 (i)F不依赖x,即F=F(t,x) 欧拉方程为 F2(x)=0 将上式积分一次,便得首次积分F2(t,x)=C1,由此可求出x=(t,c1),积分后得到可能的 极值曲线族 「,c (i)F只依赖于ⅸ,即F=F(x) 这时F=0,F6=0,Fx=0,欧拉方程为 F=0 由此可设x=0或F=0,如果x=0,则得到含有两个参数的直线族x=ct+c2°另外 若F=0有一个或几个实根时,则除了上面的直线族外,又得到含有一个参数c的直线族 x=kt+c,它包含于上面含有两个参数的直线族x=ct+c2中,于是,在F=F(x)情 况下,极值曲线必然是直线族 (iv)F只依赖于x和x,即F=F(x,x) 这时有Fs=0,故欧拉方程为 F 此方程具有首次积分为 F-XF=CI 事实上,注意到F不依赖于t,于是有 F=Fx+F x-xF-xF=xF-F 1.3几个经典的例子 1.3.1最速降线问题 最速降线问题设A和B是铅直平面上不在同一铅直线上的两点,在所有连结A和 的平面曲线中,求一曲线,使质点仅受重力作用,初速度为零时,沿此曲线从A滑行至B的 时间最短。 解将A点取为坐标原点,B点取为B(x1,y),如图1。根据能量守恒定律,质点在曲5 这时 Fx  0 ，欧拉方程为 Fx (t, x) = 0 ，这个方程以隐函数形式给出 x(t) ，但它一般不 满足边界条件，因此，变分问题无解。 (ii) F 不依赖 x ，即 F = F(t, x ) 欧拉方程为 F (t, x) = 0 dt d x   将上式积分一次，便得首次积分 1 F (t, x) c x  = ，由此可求出 ( , ) 1 x  = t c ，积分后得到可能的 极值曲线族 x (t c )dt  = 1  , (iii) F 只依赖于 x  ，即 F = F(x ) 这时 Fx = 0,Ftx = 0,Fxx = 0 ，欧拉方程为  x Fxx = 0 由此可设  x  = 0 或 Fxx = 0 ，如果  x  = 0 ，则得到含有两个参数的直线族 1 2 x = c t +c 。另外 若 Fxx = 0 有一个或几个实根时，则除了上面的直线族外，又得到含有一个参数 c 的直线族 x = kt+c ，它包含于上面含有两个参数的直线族 1 2 x = c t +c 中，于是，在 F = F(x ) 情 况下，极值曲线必然是直线族。 （iv） F 只依赖于 x 和 x  ，即 F = F(x, x ) 这时有 Ftx = 0 ，故欧拉方程为 Fx − x Fxx −  x Fxx = 0 此方程具有首次积分为 1 F xF c −  x = 事实上，注意到 F 不依赖于 t ，于是有 ( − x ) = x + x − x − x = ( x − Fx ) = 0 dt d F x F dt d F xF F x F x xF x dt d            。 1.3 几个经典的例子 1.3.1 最速降线问题 最速降线问题 设 A 和 B 是铅直平面上不在同一铅直线上的两点，在所有连结 A 和 B 的平面曲线中，求一曲线，使质点仅受重力作用，初速度为零时，沿此曲线从 A 滑行至 B 的 时间最短。 解 将 A 点取为坐标原点，B 点取为 B(x1,y1)，如图 1。根据能量守恒定律，质点在曲