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,860 北京科技大学学报 第29卷 寸；f(x,y,z)为体数据在网格点(i,j,k)处的属性 应用良好).故本文设计了基于该方法的插值计算 值 工作 2空间插值方案设计 通过对距离幂次反比法的原理与应用情况的分 析，该方法用于地矿工程需考虑两个问题：一是搜索 2.1泰森多边形法 半径；二是幂指数，同时，由于该方法要求空间属性 泰森(Thiessen)多边形法的原理为：将整个数 变量各向同性，若直接用于三维空间插值，其插值精 据平面按已知采样点的位置分割成若干个由泰森多 度只有在空间属性变量各向同性时才具有可信度， 边形表示的子区域，每个多边形由相应的采样点与 故采用与多边形插值法的同样考虑，把三维的插值 周围的所有邻域点间作垂直平分线、并将各垂直平 计算转化成平面的二维插值，在各分层上进行，当各 分线依次连接组合而成，各泰森多边形内的每一点 层的插值都完成后，整个空间网格点上的属性即可 属性均由各多边形内的已知点确定门 得到 可见，该方法是一种基于二维平面的插值方法， 待求属性点A的距离幂次反比插值按下式进 而将其引入到三维空间中，解决三维空间地质体的 行： 属性插值（如品位插值），生成规则空间网格结构化 Z(A)= gi (3) 的体数据，需作如下处理 1 由于地质勘探与生产勘探所获取的样品数据以 及对其进行正则化处理所得到的离散空间点数据， 式中，N是参与估值的已知属性点个数，d:是第i 沿取样方向数据相对其他方向均具有分布集中特 个已知属性点到未知属性点的距离，9：是第i个已 性，且地质勘探和生产勘探的取样方向常为大地坐 知属性点的属性，μ是幂指数，插值时以A点为圆 标系的Z轴方向，故在对原始采样数据进行正则化 心，以指定距离为搜索半径，若在搜索范围内找不到 处理时，按照规则体素的△z间隔对原始的样品数 已知属性点，则认为A点的属性为零 据进行正则化，这样正则化后的空间离散点数据已 2.3克立格法 是在Z方向上按△z间隔分层的数据，而每一分层 克立格(Kriging)法以区域化变量理论为基础、 的数据分布是散乱、稀疏的，需经插值而使各层的数 以变异函数为基本工具，用来研究分布于空间并呈 据呈规则分布，由于此时插值只在二维平面上进 现出一定结构性和随机性的数据10] 行，故按规定的△x、△y间隔对分层数据进行泰森 克立格法处理的是区域化变量，区域化变量具 多边形法插值，沿Z方向顺次处理各分层，直至所 有空间的连续性、变异性、结构性和相关性等特点， 有分层均被插值处理，这样，将泰森多边形法引入 故克立格法既能反映变量的空间结构特性，又能反 到三维空间插值中 映变量的随机分布特性，同时还能充分考虑各采样 经上述处理，利用泰森多边形法插值，待插值点 点属性之间的相关性和变异性，轻松解决采样点之 A的属性确定可由如下关系表达： 间的“丛聚效应”、各向异性等问题 根据克立格法，研究对象空间某一未知点属性 Z(A)= k=1 d≤do(2) 的估计值Z*(xo)可以通过该未知点影响范围内n 0 d≥do 个有效观察数据（即原始离散数据）的线性组合来得 式中，d为待插值点与其控制点间的距离；do代表 到，即： 临界影响距离，其取值应根据具体问题来确定；为 公共泰森多边形个数，即公共控制点个数：Z(O)为 Z(x0)= (4) 第k个控制点单独对未知点算出的属性值 式中，Z(x)是指在观察点或实测点x(=1,2,, 可见，无需真正构造泰森多边形，便可进行泰森 n)处的采样值：入是权系数，表示各采样值Z(x:) 多边形法的三维空间插值， 对估计值Z*(x)影响的大小，其求解要保证所求 2.2距离幂次反比法 估计值无偏（使所有待求点的估计值与其真实值之 距离幂次反比法的主要思想是认为未知属性受 间偏差的期望值为0)，并且估计方差最小 其周围已知属性的影响与距离相关，距离越近影响 越大，反之影响越小[8].实践表明，该方法对于构造 3储量算法设计 不甚复杂的层状矿床及埋藏条件平稳的矿床，效果 通过上述三种插值方法的任何一种对原始数据寸；f （ xyz ）为体数据在网格点（ ijk）处的属性 值． 2 空间插值方案设计 2∙1 泰森多边形法 泰森（Thiessen）多边形法的原理为：将整个数 据平面按已知采样点的位置分割成若干个由泰森多 边形表示的子区域每个多边形由相应的采样点与 周围的所有邻域点间作垂直平分线、并将各垂直平 分线依次连接组合而成各泰森多边形内的每一点 属性均由各多边形内的已知点确定［7］． 可见该方法是一种基于二维平面的插值方法 而将其引入到三维空间中解决三维空间地质体的 属性插值（如品位插值）生成规则空间网格结构化 的体数据需作如下处理． 由于地质勘探与生产勘探所获取的样品数据以 及对其进行正则化处理所得到的离散空间点数据 沿取样方向数据相对其他方向均具有分布集中特 性且地质勘探和生产勘探的取样方向常为大地坐 标系的 Z 轴方向．故在对原始采样数据进行正则化 处理时按照规则体素的Δz 间隔对原始的样品数 据进行正则化这样正则化后的空间离散点数据已 是在 Z 方向上按Δz 间隔分层的数据．而每一分层 的数据分布是散乱、稀疏的需经插值而使各层的数 据呈规则分布．由于此时插值只在二维平面上进 行故按规定的Δx、Δy 间隔对分层数据进行泰森 多边形法插值沿 Z 方向顺次处理各分层直至所 有分层均被插值处理．这样将泰森多边形法引入 到三维空间插值中． 经上述处理利用泰森多边形法插值待插值点 A 的属性确定可由如下关系表达： Z（ A）＝ 1 n 1－ d d0 ∑ n k＝1 Zk（ O） d ≤ d0 0 d ≥ d0 （2） 式中d 为待插值点与其控制点间的距离；d0 代表 临界影响距离其取值应根据具体问题来确定；n 为 公共泰森多边形个数即公共控制点个数；Zk（ O）为 第 k 个控制点单独对未知点算出的属性值． 可见无需真正构造泰森多边形便可进行泰森 多边形法的三维空间插值． 2∙2 距离幂次反比法 距离幂次反比法的主要思想是认为未知属性受 其周围已知属性的影响与距离相关距离越近影响 越大反之影响越小［8］．实践表明该方法对于构造 不甚复杂的层状矿床及埋藏条件平稳的矿床效果 应用良好［9］．故本文设计了基于该方法的插值计算 工作． 通过对距离幂次反比法的原理与应用情况的分 析该方法用于地矿工程需考虑两个问题：一是搜索 半径；二是幂指数．同时由于该方法要求空间属性 变量各向同性若直接用于三维空间插值其插值精 度只有在空间属性变量各向同性时才具有可信度． 故采用与多边形插值法的同样考虑把三维的插值 计算转化成平面的二维插值在各分层上进行当各 层的插值都完成后整个空间网格点上的属性即可 得到． 待求属性点 A 的距离幂次反比插值按下式进 行： Z ∗（ A）＝ ∑ N i＝1 gi d μ i∑ N i＝1 1 d μ i （3） 式中N 是参与估值的已知属性点个数di 是第 i 个已知属性点到未知属性点的距离gi 是第 i 个已 知属性点的属性μ是幂指数．插值时以 A 点为圆 心以指定距离为搜索半径若在搜索范围内找不到 已知属性点则认为 A 点的属性为零． 2∙3 克立格法 克立格（Kriging）法以区域化变量理论为基础、 以变异函数为基本工具用来研究分布于空间并呈 现出一定结构性和随机性的数据［10］． 克立格法处理的是区域化变量区域化变量具 有空间的连续性、变异性、结构性和相关性等特点． 故克立格法既能反映变量的空间结构特性又能反 映变量的随机分布特性同时还能充分考虑各采样 点属性之间的相关性和变异性轻松解决采样点之 间的“丛聚效应”、各向异性等问题． 根据克立格法研究对象空间某一未知点属性 的估计值 Z ∗（ x0）可以通过该未知点影响范围内 n 个有效观察数据（即原始离散数据）的线性组合来得 到即： Z ∗（ x0）＝ ∑ n i＝1 λiZ（ xi） （4） 式中Z（ xi）是指在观察点或实测点 xi（ i＝12… n）处的采样值；λi 是权系数表示各采样值 Z（ xi） 对估计值 Z ∗（ x0）影响的大小其求解要保证所求 估计值无偏（使所有待求点的估计值与其真实值之 间偏差的期望值为0）并且估计方差最小． 3 储量算法设计 通过上述三种插值方法的任何一种对原始数据 ·860· 北 京 科 技 大 学 学 报 第29卷