第十八讲分离变量法(四)正交曲面坐标系 第5页 ★第一,在数学上,原来定解问题的微分方程在圆内处处成立;然而变换到平面极坐标后,方 程在区间的端点φ=0和φ=2π并不成立.严格说,在平面极坐标中,自变量φ的变化范围 是[0,2可,因为u(r,)在端点φ=0和φ=2处的偏导数没有定义,充其量最多也只能定义 u(r,o)在两个端点处的单侧偏导数 这两个端点纯粹是由于采用平面极坐标系描写圆形而出现的,并非真正的几何边界,在原始的 定解问题中,就谈不上要指定相应的边界条件这样就导致在上面的结果中也没有给出u(r,) 在φ=0和φ=2π处所应当满足的边界条件 考虑到平面极坐标系的特点,(r,=0)和(r,=2x)代表的是平面上的同一点,所以,作为 完整的定解问题,应当补充上周期条件 这样,上面提到的由于把 Laplace方程从直角坐标系转换到极坐标系时而发生的损失,可以通 过周期条件而得到补偿 ★第二,原来的方程在坐标原点(x,y)=(0,0)也是成立的、但是,变换到平面极坐标后,方程在 r=0点并不成立.因为u(r,)在r=0点的偏导数也并没有定义,充其量也只能定义u(r,) 在r=0点的单侧偏导数 r=0点作为自变量r的端点,也纯粹是由采用极坐标系而出现的,它并不是圆形区域的几何 边界.这样也还需要补充上u(r,)在r=0点所应当满足的边界条件 考虑到原来的方程是齐次的,在圆内(包括坐标原点)是无源的,因此,u(r,在坐标原点应 当是有界的,应当要补充上有界条件 u(r,d)=0有界 总结:在转换到平面极坐标系后,定解问题就应该变为 0<<2n,0<r<a, 0<T<a, du(r, o) au(r, o) 0|=2x 0<T<a, u(r,)=0有界 0<<2n 0<<2Wu Chong-shi ❭❪❫❴ ❵❛❜❝❞ (❡) ❢❣ ❤✐ ❖P◗ ❱ 5 ❲ F ô ❀✾❋✺õ■✾➒➓⑥❩⑦⑧✪➭❻⑩❶❋ ➉ö÷÷➽øî ❺ ➻❽è❅✢✣✤✥✦❇✾⑩ ❶❋æù✪úû φ = 0 ✧ φ = 2π ➯➅➽ø⑤üýñ✾❋✢✣✤✥✦ ➑ ✾ ➋❽❾ φ ✪ ❽þÿ ￾ ✭ [0, 2π] ✾❬⑨ u(r, φ) ❋ úû φ = 0 ✧ φ = 2π ÷✪✁ ✻✺ ➲ ↕⑥✂✾✄☎❾❆✆✝✞❃⑥✂ u(r, φ) ❋➥➦úû÷✪✟✠✁✻✺⑤ ✡➥➦úû☛☞✭ ✮➆ ➏➐✢✣✤✥✦✬✌ ➔ ➉ ➇➻✳Û✪ ✾ ➯➛✍✎✪✏✑➀➁✾❋➒✒ ✪ ⑥❩⑦⑧ ➑ ✾❂✓ ➅ ■✔✕⑥➳ ➍✪➀➁➂➃⑤✡✖❂✻✗❋■✣ ✪ êë ➑ ✝ ➲ ↕✘✳ u(r, φ) ❋ φ = 0 ✧ φ = 2π ÷✙➍❹✚✛✪ ➀➁➂➃⑤ ✜✢❅✢✣✤✥✦✬✪✣û ✾ (r, φ = 0) ✧ (r, φ = 2π) ➣✤ ✪✭✢✣■ ✪✥ ❀ û ✾ ✙ ▲✾✦⑨ Þó✪ ⑥❩⑦⑧✾➍❹✧ ✄■★✩➂➃ u(r, φ)   φ=0 = u(r, φ)   φ=2π ✧ ∂u(r, φ) ∂φ    φ=0 = ∂u(r, φ) ∂φ    φ=2π . ✡✖✾■✣✪❅ ✪ ✮➆✫ Laplace ⑩❶✬ ★✩✥✦✬✭ è❅✤✥✦✬é➻✮✯✪✰✱✾❑▲✲ ✳★✩➂➃➻❄❅✧✴⑤ F ô❷✾➒➓✪ ⑩❶❋✥✦➒ û (x, y) = (0, 0) ✝ ✭ ➽ø✪ ⑤❿ ✭ ✾❽è❅✢✣✤✥✦❇✾⑩❶❋ r = 0 û➯➅➽ø⑤❬⑨ u(r, φ) ❋ r = 0 û✪✁ ✻✺✝ ➯➲↕⑥✂✾✄☎❾✝✞❃⑥✂ u(r, φ) ❋ r = 0 û✪✟✠✁✻✺⑤ r = 0 û ✦⑨ ➋❽❾ r ✪úû✾✝ ☛☞✭ ✮ ➏➐✤✥✦✬ ➻✳Û✪ ✾ò ➯➅✭ ➉➇æç✪✏✑ ➀➁⑤✡✖✝❏✵✔✧ ✄■ u(r, φ) ❋ r = 0 û✙➍❹✚✛✪ ➀➁➂➃⑤ ✜✢❅➒➓✪ ⑩❶✭➜➝✪✾❋ ➉ö (✶✷✥✦➒ û) ✭✸✹✪ ✾❬✯✾ u(r, φ) ❋✥✦➒ û➍ ❹✭↕➁✪ ✾ ➍❹✔ ✧ ✄■↕➁➂➃ u(r, φ)   r=0↕➁. ✺✻å ➶✼✽Ó➹➘➴➷➬➮✾✾②✿③④❀✃❁❰❂ 1 r ∂ ∂r  r ∂u ∂r  + 1 r 2 ∂ 2u ∂φ2 = 0, 0 < φ < 2π, 0 < r < a, u(r, φ)   φ=0 = u(r, φ)   φ=2π , 0 < r < a, ∂u(r, φ) ∂φ    φ=0 = ∂u(r, φ) ∂φ    φ=2π , 0 < r < a, u(r, φ)   r=0 ↕➁, 0 < φ < 2π, u   r=a = f(φ), 0 < φ < 2π