§18.1圆形区域 第6页 现在,再来重复分离变量的步骤,就可以看到,除了前面已经得到的两个齐次常微分方程 d dR AR=0, d2① 之外,由周期条件还可以得到 这样,又得到了一个新的本征值问题 +A中=0 更(0)=(2x), 这个本征值问题的特点是:它是由含有待定参数的常微分方程和一对周期条件构成的 这个本征值问題的解当然就会出现新的特点 当λ=0时,常微分方程的通解为 po(o)= Aoo+ Bo 代入周期条件,有 Bo Ao2T+ Bo A0=A0 因此 B 这说明λ=0是本征值,相应的本征函数是 当λ≠0时,方程的通解为 φ()=Asin√b+Bcos√Ao 代入周期条件,得到 B= Asin VA2+ B cos yA2 A=A A27T-B 这可以看成是关于系数A和B的线性齐次代数方程组,有非零解的充分必要条件是 sinA2rcos√入2nx-1 osvA2丌-1 2丌 即2(cos√2-1)=0,这样又可以求得本征值 相应的非零解是 A任意,B任意Wu Chong-shi §18.1 ❥❦❧♠ ❱ 6 ❲ Û❋✾❃➓❄✷❻❼❽❾✪ ❁❅✾❂❑▲❆❅✾❇❈❉✣ ❊❋❄❅✪ ➥➦➜➝➫➭❻⑩❶ r d dr  r dR dr  − λR = 0, d 2Φ dφ2 + λΦ = 0 ➸●✾✮★✩➂➃❏❑▲❄❅ Φ(0) = Φ(2π), Φ0 (0) = Φ 0 (2π). ✡✖✾❍❄❅❈❀➦■ ✪ ➾➚➪⑦⑧ d 2Φ dφ2 + λΦ = 0, Φ(0) = Φ(2π), Φ0 (0) = Φ 0 (2π). ❏❑▲▼◆ ❖P◗❘❙❚å ❯❚ ❱❲❳❨❩❬❭◗❪❫❴❵❛❜❝❞❡❢❣❤✐❥◗⑤ ❏❑▲▼◆ ❖P◗❦ ❧♠♥♦ ♣qr◗❘❙⑤ ❹ λ = 0 é ✾ ➫➭❻⑩❶✪ ✲❩⑨ Φ0(φ) = A0φ + B0. ➣↔★✩➂➃✾↕ B0 = A02π + B0, A0 = A0. ❬✯ A0 = 0, B0st. ✡ñ ✉ λ = 0 ✭ ➾➚➪✾➳➍✪➾➚✹✺✭ Φ0(φ) = 1. ❹ λ 6= 0 é ✾⑩❶✪ ✲❩⑨ Φ(φ) = A sin √ λφ + B cos √ λφ. ➣↔★✩➂➃✾❄❅ B = A sin √ λ2π + B cos √ λ2π, A = A cos √ λ2π − B sin √ λ2π. ✡❑▲❆➽ ✭✫➆ ✬ ✺ A ✧ B ✪✈✇➜➝➣✺⑩❶①✾↕➛② ❩ ✪ ✄❻③✔➂➃✭      sin √ λ2π cos √ λ2π − 1 cos √ λ2π − 1 − sin √ λ2π      = 0, ✴ 2(cos √ λ2π − 1) = 0 ⑤✡✖❍❑▲✲❄➾➚➪ λm = m2 , m = 1, 2, 3, · · · , ➳ ➍✪➛② ❩ ✭ Ast, Bst